(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题检测(十三)立体几何中的向量方法理.pdf

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1、专题检测（十三）立体几何中的向量方法A组——大题考点落实练1.如图，在四棱柱ABCDABCD中，AA⊥底面ABCD，四边形ABCD11111为菱形，AA＝AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，AC的中点．11(1)求异面直线EF，AD所成角的余弦值；AM(2)点M在线段AD上，1＝λ，若CM∥平面AEF，求实数λ的值．1AD1解：(1)因为AA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，1所以AA⊥AE，AA⊥AD.11在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形．因

2、为E是BC的中点，所以BC⊥AE.因为BC∥AD，所以AE⊥AD.以A为坐标原点，AE为x轴，AD为y轴，AA为z轴建立如图所1示的空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(3，1,0)，D(0,2,0)，31A(0,0,2)，E(3，0,0)，F，，1，122―→―→31AD＝(0,2,0)，EF＝－，，1，22―→―→―→―→AD·EF12所以cos〈AD，EF〉＝＝＝，―→―→224

3、AD

4、·

5、EF

6、2所以异面直线EF，AD所成角的余弦值为.4AM(2)设M(x，y，z)，由于点M在

7、线段AD上，且1＝λ，1AD1―→―→所以AM＝λAD，则(x，y，z－2)＝λ(0,2，－2)．11―→解得M(0,2λ，2－2λ)，所以CM＝(－3，2λ－1,2－2λ)．设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．000―→―→31因为AE＝(3，0,0)，AF＝，，1，22―→3x＝0，AE·n＝0，0所以即31―AF→·n＝0，2x0＋2y0＋z0＝0，取y＝2，得z＝－1，00则平面AEF的一个法向量为n＝(0,2，－1)．―→由于CM∥平面AEF，则n·CM＝0，

8、2即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝.32.(2019届高三·河北三市联考)如图，三棱柱ADEBCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA⊥AB，AD＝AE＝EF＝1，平面ABGE⊥平面ABCD.(1)求证：AF⊥平面FBC；(2)求二面角BFCD的正弦值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，又平面ABGE⊥平面ABCD，∴BC⊥平面ABGE，∵AF平面ABGE，∴BC⊥AF.在△AFB中，AF＝BF＝2，AB＝2，∴AF2＋BF2＝AB2，即AF⊥BF，又BF∩BC＝B，∴

9、AF⊥平面FBC.(2)分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，―→―→B(0,2,0)，F(0,1,1)，∴DE＝(－1,0,1)，DC＝(0,2,0)，设n＝(x，y，z)为平面CDEF的法向量，1―→n·DC＝0，2y＝0，1则即―→－x＋z＝0，n·DE＝0，1令x＝1，得z＝1，即n＝(1,0,1)为平面CDEF的一个法向量，1―→取n＝AF＝(0,1,1)为平面BCF的一个法向量

10、，2n·n1∴cos〈n，n〉＝12＝，12

11、n

12、

13、n

14、2123∴二面角BFCD的正弦值为.23．如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中CD∥AB，BC⊥AB，侧面ABE⊥平面ABCD，且AB＝AE＝BE＝2BC＝2CD＝2，动点F在棱AE上，且EF＝λFA.(1)试探究λ的值，使CE∥平面BDF，并给予证明；(2)当λ＝1时，求直线CE与平面BDF所成角的正弦值．1解：(1)当λ＝时，CE∥平面BDF.证明如下：2连接AC交BD于点G，连接GF，∵CD∥AB，AB＝2CD，CGCD1∴＝＝，

15、GAAB21EFCG1∵EF＝FA，∴＝＝，∴GF∥CE，2FAGA2又CE平面BDF，GF平面BDF，∴CE∥平面BDF.(2)取AB的中点O，连接EO，则EO⊥AB，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD＝AB，∴EO⊥平面ABCD，连接DO，∵BO∥CD，且BO＝CD＝1，∴四边形BODC为平行四边形，∴BC∥DO，又BC⊥AB，∴AB⊥OD，则OD，OA，OE两两垂直，以O为坐标原点，OD，OA，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0,1

16、,0)，B(0，－1,0)，D(1,0,0)，C(1，－1，0)，E(0,0，3)．―→―→13当λ＝1时，有EF＝FA，∴F0，，，22―→―→33―→∴BD＝(1,1,0)，BF＝0，，，CE＝(－1,1，3)．22设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)，―→x＋y＝0，n·BD＝0，则即33n·―→y＋z＝0，BF＝0，22令z＝3，