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《(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：专题跟踪检测(十一)立体几何中的向量方法理.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题跟踪检测（十一）立体几何中的向量方法1．(2018·全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值．解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因为DM⊂平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.―→
2、(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC的体积最大时，M为CD的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，―→―→―→AM＝(－2，1,1)，AB＝(0,2,0)，DA＝(2,0,0)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，―→n·AM＝0，－2x＋y＋z＝0，则即可取n＝(1,0,2)，―→2y＝0.n·AB＝0，―→又DA是平面MCD的一个法向量，―→―→n·DA5―→25所以cos〈n，DA〉＝＝，sin〈n
3、，DA〉＝.―→55
4、n
5、
6、DA
7、25所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.52.(2018·唐山模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；6(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．3解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PC.因为AB＝2AD＝2CD，所以AC＝BC＝2AD＝2CD，所以AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.又BC∩PC＝C，所以AC⊥
8、平面PBC.因为AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.―→―→―→(2)如图，以C为坐标原点，CB，CA，CP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设CB＝2，CP＝2a(a＞0)．则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，P(0,0，2a)，则E(1,0，a)，―→―→―→CA＝(0,2,0)，CP＝(0,0,2a)，CE＝(1,0，a)，易知m＝(1,0,0)为平面PAC的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向量，―→n·CA＝0，2y＝0，则即―→x＋az＝0，n·CE＝0，取
9、x＝a，则z＝－1，n＝(a,0，－1)．
10、m·n
11、a6依题意，
12、cos〈m，n〉
13、＝＝＝，
14、m
15、
16、n
17、a2＋13解得a＝2.―→于是n＝(2，0，－1)，PA＝(0,2，－22)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，―→―→
18、PA·n
19、2则sinθ＝
20、cos〈PA，n〉
21、＝＝.―→3
22、PA
23、
24、n
25、2即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.33．(2018·西安质检)如图，四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是菱形，AC∩BD＝O，AO11111⊥底面ABCD，AB＝2，AA＝3.1(1)证明：平面ACO⊥平面BBDD；111(2)若∠BAD＝60°，求二面角
26、BOBC的余弦值．1解：(1)证明：∵AO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD.1∴AO⊥BD.1∵四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD.∵AO∩CO＝O，1∴BD⊥平面ACO.1∵BD⊂平面BBDD，11∴平面ACO⊥平面BBDD.111―→―→(2)∵AO⊥平面ABCD，CO⊥BD，∴OB，OC，OA两两垂直，以O为坐标原点，OB，OC，11―→OA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．1∵AB＝2，AA＝3，∠BAD＝60°，1∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝3，OA＝AA2－OA2＝6.11则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(
27、0，3，0)，A(0，－3，0)，A(0,0，6)，1―→―→―→∴OB＝(1,0,0)，BB＝AA＝(0，3，6)，11―→―→―→―→OB＝OB＋BB＝(1，3，6)，OC＝(0，3，0)．11设平面OBB的法向量为n＝(x，y，z)，1111―→OB·n＝0，x＝0，1则即―→x＋3y＋6z＝0.OB·n＝0，1111令y＝2，得n＝(0，2，－1)是平面OBB的一个法向量．11设平面OCB的法向量m＝(x，y，z)，1222―→OC·m＝0，3y＝0，2则即―OB→x＋3y＋6z＝0，·m＝0，2221令z＝－1，得m
28、＝(6，0，－1)为平面OCB的一个法向量，21n·
