备战2019高考数学大二轮复习专题五立体几何专题能力训练15立体几何中的向量方法理

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1、专题能力训练15立体几何中的向量方法一、能力突破训练1.ED如图，正方形肋G?的中心为0,四边形0必F为矩形，平面0必F丄平面肋他点G为初的中点、,AB二BE2(1)求证:盘；〃平面ADF;(2)求二面角0-济P的正弦值；⑶设〃为线段M上的点，且AH二HF,求直线〃〃和平面砂所成角的正弦值.2.(2018北京，理⑹如图，在三棱柱ABC-A^G中，％丄平面ABC,D、E、F、&分别为M,AC,川G,BB的中点,AB二BC小,AC=AA,=2.(1)求证:MCI平面BEF;⑵求二面角B-CD-Q的余弦值；(3)证明：直线兀与平面彩相交.3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是rtl矩形

2、？1救(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,0是介的中点.⑴设戶是况上的一点，且APA.BE,求/廊的大小；⑵当ABN,AD毛时,求二面角尸-加-。的大小.4.如图，在长方体ABCD-A假GD,中,AA=AD=1,E为皿的中点.⑴求证:恥丄的;(1)在棱勿】上是否存在一点P,使得莎〃平面几必?若存在，求的长;若不存在,说明理由.5.如图，在四棱锥戶-肋〃中,底面肋〃为正方形,平面別9丄平面個⑦点财在线段PB上,刃〃平面MAC,PA二PD込AB=.⑴求证:肘为加的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线％与平面〃莎所成角的正弦值.如图，沥是半圆0的直径,

3、C是半圆。上除A,〃外的一个动点,ZT垂直于半圆0所在的平面,DC//EE,DC二EB,ABN,tanZE4〃三(1)证明：平面血於丄平面ACD(2)当三棱锥CT防体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值.二、思维提升训练7.如图甲所示,％是梯形的高，ZBADN5。,0B二BC=,ODNOA,现将梯形必⑦沿必折起成如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PZ,〃是线段/竹上一动点.甲乙(1)证明：必、和/乞不可能垂直；(2)当戶理滋吋，求刃与平血宓所成角的正眩值.如图，平面刊〃丄平面ABCD,四边形/依⑦为正方形，ZPAD^OQ,且PA二AD=2;E,F,G分别是线段PA,PD,

4、①的屮点.(1)求证:/另〃平面EFG.(2)求异面直线励与加所成的角的余弦值.(3)在线段仞上是否存在一点Q,使得点外到平面刃叩的距离为?若存在，求出巾的值;若不存在，请说明理由.专题能力训练15立体儿何中的向量方法一、能力突破匚凸鼻一1.解依题意,OF丄平而初仞,如图，以0为原点，分别以ADSA^OF的方向为/轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得o(o,o,o),j(-i,1,0—1,-i,o),rd,-i,o),z?(i,i,o),M-1,-1,2),AO,0,2),G(T,0,0).C&D⑴证明:依题意，乔二(2,0,0),乔=(1,-1,2).设必竺为平

5、面血尸的法向量，(tli'AD=0,即(2x—0,则h•乔=0,U-y+2z=0.不妨设z：l,可得m=(0,2,1),_又^-(0,1,-2),可得氐nR,乂因为直线竺平面ADF,所以仅7〃平而ADF.⑵易证丽=(-1,1,0)为平面妙的一个法向量.依题意,乔二(1,1,0),1,1,2).设m=(/,y,z)为平面⑵7的法向量，血乔=0,即0+y=O,则U-CF=O3U+y+2z=0.因此有cos<_.OAn2J°&n2>-04卜?=-~3于是sin〈—岳O&2=T-不妨设尸1,可得m=(l,T,1).所以,二面角o-刃"的正弦值为2S/1E2⑶由AH=勺HF,得AH=

6、因为乔=(1,-1,2),所以进而有//(444),从而_.列F2-因此cos=£片卜应

7、=-21V7_a•所以，直线〃〃和平面CZF所成角的正弦值为2.(1)证明在三棱柱ABC-ABG中，：•%丄平面肋C・：四边形AyACCy为矩形.又E,厂分别为AC,AG的中点，・・・ACIEF.•・・AB=BC,・・・ACIBE,/.ACL平面BEE.(2)解由(1)沁ACA_EF,ACLBE,EF〃CC.JCG丄平面ABC、丄平面ABC.V721建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.由题意暹〃(0,2,0),C(-l,0,0),Ml,0,l),F(0,0,2),0(

8、0,2,1).・・・CD=(2,0,1),丽二(1,2,0).设平面舉岂法向量为n=(日,b,c),n-CD—0,er2a+c=0,则(nCfi=0/*ta+2b=0.令臼乜,则Z?--l,c--4,・：平面恥的法向量n=(2,-1,-4).又平面仞G的法向量为_^=(0,2,0),—•:"EBV21Zcos

9、n

10、lEB

11、--IT-'V21由图可得二面角〃-Q-G为钝角，・：二面角B-CD-G的余弦值为-TF-(1)证明平面财的法向量为n-(2,-1,-4),：0(