空间的平行直线与异面直线教案1

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1、课题：9．2空间的平行直线与异面直线(二) 教学目的：1.掌握两异面直线的公垂线和距离的概念；2.掌握两异面直线所成角及距离的求法．3.能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点：两异面直线的公垂线及距离的概念.教学难点：两异面直线所成角及距离的求法.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点；2.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：．3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同

2、，那么这两个角相等4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.5.空间两条异面直线的画法6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：与是异面直线7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）．为了简便，点通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作．9．求异面直线所成的角的方法：（1）通

3、过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例1设图中的正方体的棱长为a（1）图中哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小．（3）求异面直

4、线BC和AA1的距离．解：（l）∵A1不在平面BC1，而点B和直线CC1都在平面BC1内，且BCC1.∴直线BA1与CC1是异面直线．同理，直线C1D1、D1D、DC、AD、B1C1都和直线BA1成异面直线．（2）∵CC1∥BB1∴BA1和BB1所成的锐角就是BA1和CC1所成的角．∵∠A1BB1=45°，∴BA1和CC1所成的角是45°．（3）∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，∴AB是BC和AA1的公垂线段．∵AB=a，∴BC和AA1的距离是a．说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范．例2已知分别是空间四边形四条边的

5、中点，（1）求证四边形是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证：为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求；（4）若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.证明（1）：连结，∵是的边上的中点，∴，同理，，∴，同理，，所以，四边形是平行四边形证明（2）：由（1）四边形是平行四边形∵，∴由AC⊥BD得，∴为矩形.解（3）：由（1）四边形是平行四边形∵BD=2，AC=6，∴∴由平行四边形的对角线的性质.解（4）：由（1）四边形是平行四边形∵BD=4，AC=6，∴又∵，，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角，

6、∴四边形的面积.解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC，∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝∴∴MN是AC与BD的公垂线段且∴AC与BD间的距离为.例3平行四边形ABCD的内角C=60°,CD=2BC,沿对角线BD将平行四边形所在平面折成直二面角;求AC、BD所成的角.翰林汇解：如图,折起前,∠A=∠C=60°,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD2=a2＋4a2－a·2a=3a2,∴BD=.∵AD2＋BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形.即∠ADB=90°.同理∠DBC=90°.折起后∠ADB=∠CBD=9

7、0°.如图,过A作AEBD,连结AC、CE、BE,四边形AEBD是矩形,BD⊥BE,DB⊥BC.∴∠CBE是二面角A—BD—C的平面角.∴∠CBE=90°,EC2=2a2.∵DB⊥平面EBC,∴DB⊥EC.∵AE⊥EC,AC2=AE2＋EC2=5a2,由AE‖BD得∠CAE，即为AC与BD所成的角.在Rt△AEC中,cos∠CAE=.于是AC与BD所成角为arccos.翰林汇例4空间四边形中，，分别是的中点，，求异面直线