圆锥曲线第七天-面积问题.docx

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1、圆锥曲线第七天面积问题例题1、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，，。。当且仅当，即时等号成立。当时，，综上所述。当最大时，面积取最大值。练习1、如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。（Ⅰ）求在，的条件下，的最

2、大值；（Ⅱ）当时，求直线AB的方程。本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解：（Ⅰ）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，取到最在值1，（Ⅱ）解：由得设到的距离为，则又因为所以代入②式并整理，得解得，代入①式检验，。故直线的方程是。练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点

3、，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。解：设椭圆方程为（I）由已知得所求椭圆方程为（II）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，由消去y得关于x的方程：由直线l与椭圆相交A、B两点，△，解得，又由韦达定理得.原点O到直线l的距离解法1：对两边平方整理得：（*），整理得：又，.从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为：.解法2：令，则，.当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为.解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，，则直线l与x轴的交点由解法一知：

4、且解法1：下同解法一解法2：下同解法一练习3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。解：由＝得，所以椭圆方程设为设直线，由得：设，则是方程的两个根由韦达定理得所以＝当且仅当时，即轴时取等号所以，所求椭圆方程为