数值计算插值与拟合(给药方案估计水塔的水流量)课件.ppt

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1、插值与拟合一、插值1、插值问题：不知道某一函数f(x)在待定范围[a,b]上的具体表达式，而只能通过实验测量得到该函数在一系列点a≤x1,x2,...,xn≤b上的值y0,y1,y2,...,yn，需要找一个简单的函数P(x)来近似地代替f(x)，要求满足：P(xi)=yi(i=1,2,...,n)，此问题称为插值问题。P(x)称为f(x)的插值函数，x1,x2,...,xn称为插值节点，f(xi)称为插值条件。几种常用的插值方法1、多项式插值2、样条插值1、多项式插值方法设y=f(x)在n+1个互异点上的x0,x1,x2,...,xn上的

2、值y0,y1,y2,...,yn，要求一个次数不超过n次的代数多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…anxn使之在节点上满足Pn(xi)=f(xi)几种常用的多项式插值拉格朗日插值：牛顿插值Hermite插值2、样条插值方法设给定区间[a,b]的一个分化：a=x0

3、,...,xn=b，函数f(x)各节点的值分别为：f(xi)=yi(i=1,2,...,n)如果二次样条函数：满足：S(xi)=yi(i=1,2,...,n)三次样条函数的定义设[a,b]的一个划分：a=x0

4、73.095.7电阻R()7658268739421032已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求600C时的电阻R。设R=at+ba,b为待定系数解答拟合问题引例二给药问题t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg)求血药浓度随时间的变化规律c(t).作半对数坐标系(semilogy)下的图形MATLAB(aa1)解答曲线拟合问题的提法已知一组（二维）数据，即平面上n个点（xi,yi)i

5、=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii为点（xi,yi)与曲线y=f(x)的距离曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),m

6、记问题归结为，求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。线性最小二乘法的求解定理：当RTR可逆时，超定方程组存在最小二乘解，且其解可表示为下列形式：a=(RTR)-1RTya=Ry曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。Ra=y其中Ra=y线性最小二乘拟合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函数{r1(x),…rm(x)}的选取1.通过机理分析建立数学模型来确定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1

7、+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.将数据(xi,yi)i=1,…n作图，通过直观判断确定f(x)：用MATLAB解拟合问题1、线性最小二乘拟合2、非线性最小二乘拟合用MATLAB作线性最小二乘拟合1.作多项式f(x)=a1xm+…+amx+am+1拟合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.对超定方程组可得最小二乘意义下的解。，用3.多项式在x处的值y可用以下命令计算：y=polyval（a，x）输出拟合多项式系数a=[a1,…am,am+1](数组)输入同长度的数组X，Y拟合多项式次数1.ls

8、qcurvefit已知数据点：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）用MATLAB作非线性最小