大学线性代数课件：第三章 线性方程组第2节.ppt

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1、§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组§3.2齐次线性方程组齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=0a21x1+a22x2+…a2nxn=0…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=0零解/平凡解,非零解/非平凡解§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组一.齐次线性方程组有非零解的条件(P.92-93)定理3.1.Asnx=0有非零解r(A)

2、A

3、=0有非零解?x1+x2+x3=0x1+x2+x3=0x1

4、+x2+x3=0§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组二.齐次线性方程组解的性质A=0A(k)=k(A)=0.性质1.若,都是Ax=0的解向量,则+也是Ax=0的解向量.A=0,A=0A(+)=A+A=0.性质2.若是Ax=0的解向量,kR,则k也是Ax=0的解向量.综上所述,若,都是Ax=0的解向量,k1,k2R,则k1+k2也是Ax=0的解向量.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组V={Rn

5、A=0}Ax=0的解集构成一个向量空间——Ax=0的解空间.三.基础解系齐次线性方程组Ax=0的解空间的

6、基称为该齐次线性方程组的基础解系.若1,2,…,s是Ax=0的一个基础解系,则Ax=0的任何一个解就可以表示成=k11+k22+…+kss其中k1,k2,…,ks为常数.基础解系的组合§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.(P.94)设ARsn,秩(A)=r.若r

7、crnxnxr+1=xr+1xr+2=xr+2xn=xn………………………§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组=xr+1+xr+2+…+xnx1x2…xrxr+1xr+2…xnc1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…1定理3.2§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组定理3.2.1=,c1,r+1c2,r+1…cr,r+110…0c1,r+2c2,r+2…cr,r+201…0c1nc2n…crn00…12=,nr=.§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组例.求的基础解系

8、与一般解.解:初等行变换该方程组的基础解系可取为一般解为§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组比较:初等行变换该方程组的基础解系可取为一般解为故原方程组化为§3.2齐次线性方程组第三章线性方程组性质:与Ax=0的基础解系等价的线性无关向量组也是Ax=0的基础解系.定理3.3.(P.96)若ARmn,秩(A)=r,则Ax=0的任意nr个线性无关的解向量都是Ax=0的基础解系.