线性代数(工)第三章 线性方程组ppt课件.ppt

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1、第三章线性方程组§3.2向量的线性相关性§3.3向量组的极大无关组与秩§3.4线性方程组解的结构§3.1消元法在自然科学、工程技术、经济管理等许多领域有大量的实际问题可归结为线性方程组，线性方程组的讨论是线性代数的核心问题之一。一般，这样的线性方程组中未知量与方程的个数是可以不同的。方程组可能无解；也可能有唯一解或无穷多组解。对于这些问题的研究在理论上和应用上都具有重要意义。在这一章，我们将讨论线性方程组有解的充要条件，解的性质和求解方法。为了在理论上深入地讨论上述问题，我们还需要引入向量的概念，研究向量间的线

2、性关系和有关性质。§3.1线性方程组的高斯消元法一、线性方程组的有关概念1.方程组的解设n元线性方程组的形式，（3.2）式称为方程组的矩阵形式。设有两个元线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ），如果方程组（Ⅰ）的每一个解都是方程组（Ⅱ）的解，并且方程组（Ⅱ）的每一个解都是方程组（Ⅰ）的解，则称方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解。返回中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再作三例，以求其规律。2．高斯消元法与线性方程组的初等变换例1解线性方程组（3.3）解：分别把方程组(3.3)中第一个方程的倍和倍加到第二个方

3、程和第三个方程上,消去这两个方程中的未知量,得上面的第三个方程两边除以,得交换第二、三个方程,得在上面的方程组中,把第二个方程的7倍加到第三个方程上,消去未知量,得到方程组(3.4)与原方程组(3.3)同解.由方程组(3.4)的最后一个方程可得．再把　代入第二个方程，求得　．最后，把　　　　　　　代入第一个方程，解得　　．所以原方程组(3.3)的解为：方程组(3.4)的特点是:自上而下的各个方程所含未知数的个数减少,这种形式的线性方程组,一般称为阶梯形方程组由原方程组化为阶梯形方程组的过程,称为消元过程.由阶梯

4、形方程组自下而上逐次求得各未知量的过程,称为回代过程.解方程组（3.3)的回代过程也可按下列方式来做：将方程组（3.4)的第三个方程两边同除以（－6），再将新的第三个方程的1倍和2倍分别加到（3.4)的第二个方程和第一个方程得再将方程组（3.5)的第二个方程（－3）倍加到（3.5)的第一个方程得方程组（3.3)的解为1.交换两个方程的位置；2.某个方程的两边同乘以一个非零的数；3.某一个方程的若干倍加到另一方程上.——称为线性方程组的初等变换(同解变换)在求解过程中，对方程组共施行了三种变换：仔细观察一下例1的

5、求解过程，就会发现：对线性方程组作初等变换的过程，本质上是对未知量的系数和常数项进行的，或者说是对由未知量的系数和常数项组成的矩阵进行的。线性方程组的初等变换对应着增广矩阵的初等行变换，为书写简便起见，在对线性方程组作初等变换的过程中，未知量、加号、等号都可以省去，只需对增广矩阵作初等行变换。对于例1，用矩阵的初等行变换解方程组（3.3）的过程可以写成：∴方程组（3.3)和下列方程组同解方程组(3.4)与原方程组(3.3)同解.由方程组(3.4)的最后一个方程可得．再把　代入第二个方程，求得　．最后，把　　　　

6、　　　代入第一个方程，解得　　．所以原方程组(3.3)的解为：最后一个矩阵对应的线性方程组就是(3.4),这一矩阵也称为阶梯形矩阵,其特点是:(1)自上而下的各行中,第一个非零元素左边零的个数随行数增加而增加.(2)元素全部为零的行(如果有的话)位于矩阵的最下面.利用矩阵的初等行变换,还可以把回代过程直接表示如下(接上面最后一个矩阵):由此可直接得到方程组（２.１）的解为：说明：不论线性方程组中未知量个数与方程个数是否相同，都可以用上面的矩阵的初等变换求解.解　对方程组的增广矩阵施以初等行变换．化为阶梯形矩阵：

7、由最后的阶梯形矩阵，可得对应的阶梯形方程组这是一个矛盾方程组，无解．所以原方程组也无解.例３　解线性方程组解　对方程组的增广矩阵施以初等行变换．化为阶梯形矩阵：最后的阶梯形矩阵所对应的阶梯形方程组为其中，最后的一个方程已化为“０＝０”．说明该方程是“多余”方程，不再写出．这一阶梯形方程组还可以写成由最后一个矩阵,可得此式称为线性方程组的一般解由上面的例１～例３可以看出：在用消元法解线性方程组时，我们只需对其增广矩阵施以初等行变换，并把消元过程和回代过程合并在一起写出即可．解的情况：线性方程组可能无解；也可能有解

8、．在有解的情形下，可能有唯一解；也可能有无穷多组解．下面考虑一般的线性方程组(3.1)A称为方程组(3.1)的系数矩阵.1、非齐次线性方程组解的判定二、线性方程组解的判定把方程组(3.1)的常数项添加在系数矩阵A的右边,可以得到一个矩阵为了讨论方程组(3.1)的解的情况,只需对其增广矩阵施行初等行变换.不难看出，方程组(3.8)与原方程组(3.1)是同解的．它对应的阶梯形方程组为这样，