第三章线性方程组 线性代数ppt课件.ppt

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1、Ch3、线性方程组向量组的线性相关性矩阵的秩与向量组的秩向量空间线性方程组解的判定与解的结构§1、向量组的线性相关性定义1:称为n维列向量，称为n维行向量，称为第i个分量。定义2：对向量，若有一组数，使，则称是的线性组合，或称可由线性表示。例如，对，有，即是的线性组合，或称可由线性表示。定义3：对两个向量组，如A中的每一向量均可由B中的向量线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示。若A可由B表示，B也可由A表示，则称A与B等价，记为A~B。定义4：对向量组，若有一组不全为零的数，使,则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关。例如,对上面的,有由定义知线性相关。定理1：向量组线性相关的充要

2、条件是其中至少有一个向量可由其余m−1个向量线性表示。证：(充分性)不妨假定可由其余m−1个线性表示,即若令，则不全为零，由定义知线性相关。必要性：设有不全为零的，使，不妨令，则即可由其余m-1个向量线性表示。推论：向量组线性无关的充要条件是其中任一向量均不可由其余向量线性表示。参考题1、证明:含有零向量的向量组必相关。证：设向量组为，显然，，即其中一向量可由其余向量线性表示，由定理1向量组线性相关。参考题2、向量组线性无关，，讨论向量组的线性相关性。解：设，即由线性无关，得其系数行列式，即齐次线性方程组仅有零解，由定义知，线性无关。定理2：若线性相关，则也线性相关。推论：若线性无关，则也

3、线性无关。可简记为“全体无关，部分无关；部分相关，全体相关”。定理3:设无关,而相关,则可由表示,且表示式唯一.证:相关,即有不全为零的,使若，则不全为零，且使，由定义知，相关，矛盾，故，从而，即可由表示。若即又无关，由定义知得，即表示式唯一例3.1设，求。解：例3.2讨论向量组的线性相关性。解：设有数，使得，即则由式(1)，得，代入式(2)与式(3)，得故取，可求得，于是有所以线性相关。例3.3证明n个n维单位向量线性无关。证明：设有数，使得即从而有，这表明，仅当时才有成立，故向量组线性无关。例3.4若向量组a1，a2，a3线性无关，而向量组a1，a2，a3，a4线性相关，则向量a4必可

4、由向量组a1，a2，a3线性表示。证明：因为向量组a1，a2，a3，a4线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，k4，使得上式中可证(否则若，则由上式可得其中数k1，k2，k3不全为零，这与已知向量组a1，a2，a3线性无关矛盾)，故有故向量a4可由向量组a1，a2，a3线性表示。§2、矩阵的秩与向量组的秩定义5：在矩阵A中任取k行与k列，位于这些行列交叉处的个元素，按原有位置构成的k阶行列式称为的k阶子式。例如，的一个二阶子式为。定义6：若在矩阵A中有一个不为0的r阶子式D，而所有r+1阶子式全为0，则D称为A的最高阶非零子式，r称为A的秩,记为r(A)。定理4:如A~B,则r(A

5、)=r(B)，即初等变换不改变矩阵的秩。参考题3、求下列矩阵的秩。(1)(2)(3)解：(1)A是一个行阶梯形矩阵，显然存在一个三阶子式，而所有四阶子式全为0，故r(A)=3。注：根据题(1)和定理4，只需用初等变换将矩阵化为行阶梯形，则行阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。(2),r(A)=2。(3)r(A)=2。例3.5设，求。解：A的左上角处的二阶子式，而所有的三阶子式共个，分别为故得例3.6求矩阵A的秩。解：矩阵B是阶梯型矩阵，有三个非零行，故对n阶可逆矩阵A，因，即A的最高阶非零子式为，从而r(A)=n，故可逆矩阵又称为满秩矩阵，而不可逆矩阵则称为降秩矩阵。定义7:对向量组A，若(

6、1)A中有r个向量线性无关；(2)A中任意r+1个向量都线性相关,即A中任一向量均可由线性表示，则称为A的最大无关组,r称为A的秩，记为r(A)。矩阵，即矩阵等价于一个行向量组或列向量组。定理5：，即矩阵的秩既等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。定理6：向量组A与自己的最大无关组等价。证：显然，可由A表示。任取，若，则a自然可由表示；若，因为无关，而相关，故a可由唯一表示，即A也可由表示，从而A与等价。求向量组（矩阵）的秩及最大无关组方法：先将向量按列排成矩阵A=再用初等行变换将A化为阶梯形，然后从中找出最高阶非零子式D，则D的阶数(非零行的个数)即为秩，含有D的列向量即为最大无

7、关组。参考题4、求下列向量组（矩阵）的秩和最大无关组。(1)(2)解：(1)将向量按列排成矩阵，然后用行变换将其化为阶梯形，不为零的最高阶子式为二阶，如故r(A)=2，最大无关组为。(2)将向量按列排成矩阵，然后用行变换将其化为阶梯形，不为零的最高阶子式为故r(A)=4，最大无关组为。注：在求最大无关组时，若将向量按列排成矩阵，则只能用行变换，而将向量按行排成矩阵时，只能用列变换。但在求秩时，无此限制。定理7：(1)等价