《线性代数》第三章____线性方程组.ppt

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1、经济数学基础《线性代数》第三章线性方程组线性方程组的解的判定和求法本章难点：解的判定定理本章重点：一、线性方程组的有关概念1、n元线性方程组为：4元线性方程组2、方程组的系数矩阵A为：“增广矩阵”对做初等行变换，同时也是对A做变换。3、方程组的矩阵形式：系数矩阵A未知量矩阵X常数矩阵B【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵、增广矩阵和矩阵形式解：系数矩阵是增广矩阵方程组的矩阵形式是AX＝B，即由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组

2、【解】：“常数项”一一对应“增广矩阵”“线性方程组”【例3】已知方程组的增广矩阵如下，试写出它的线性方程组解：“常数项”4、齐次线性方程组：AX=0如果常数项不全为0，则称为：非齐次线性方程组。5、方程组的解：方程组的解是满足方程组的未知量的一组取值：例如：显然，就是它的一组解。显然：是齐次线性方程组注意：方程组的解可能有惟一解，也可能有无穷多组，也可能是无解。的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为非零解。定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结：（1）若则方程组无解。（2.1）若

3、r=n就有唯一解；（2.2）若r

4、=b有唯一解(1.2)AX=b有无穷多解(1.3)AX=b无解2、齐次线性方程组AX=0的解的情况为：(2.1)AX=0只有零解(唯一解)(2.1)AX=0有非零解(无穷多解)注：对于齐次线性方程组没有“无解”的情况。【例】线性方程组AX=B有唯一解，那么AX=0()．A．可能有解B．有无穷多解C．无解D．有唯一解【解】线性方程组AX=B有唯一解，说明故AX=0只有唯一解（零解）．三、线性方程组的求解定义：“行简化阶梯形矩阵”若阶梯形矩阵还满足下两个条件：(1)各个非0行的第一个不为0的元素(首非0元)都是1；(2)

5、所有首非0元所在列的其余元素都是0.如：求解的方法：用初等行变换。第一步，写出增广矩阵，并用初等行变换变为阶梯矩阵；第二步，再用初等行变换将所得矩阵变为行简化阶梯形矩阵；第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再整理出方程组的一般解。实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。【例4】解线性方程组：【解】对增广矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即①+②(-2)③+②(-4)②+①(-2)③+①(-1)(②,③)③+②×3③×②×(-1)②+③①+②所以方程组化简为：即方程组的解为：【例5】解线性方程组：【解】对增广矩

6、阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即(①,②)②+①(-2)③+①④+①(-4)②×③×④×③+②(-1)④+②(-1)①+②(-3)所以方程组化简为：含有自由未知量的解称为方程组的一般解。（P－132）【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵通过初等行变换化为：【分析】先确定基本未知量为：则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为__________。则其余的为自由未知量：【练习】求方程组的解。已知线性方程组AX=B的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵：解：对系数矩阵进行初等行变换，将其进一步化成行简化阶梯

7、形矩阵，即①+③②+③(-1)①+②(-1)②其中，是自由未知量写成方程组的形式为：所以，方程组的解为：其中，是自由未知量解齐次线性方程组一般方法是：(1)写出齐次线性方程组的系数矩阵A；(2)对A施行初等行变换，使A化为行简化阶梯形矩阵；(3)根据行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。【例7】求线性方程组：解：的一般解。对系数矩阵进行初等行变换，将其化成行简化阶梯形矩阵，即②+①(-2)③+①(-2)②×③+②(-1)③(-1)①+③(-1)②+③2①+②(-1)所以方程组化简为：【例8】设齐次线性方程组为：【解】对系数

8、矩阵进行初等行变换，即②+①(-2)③+①(-3)问：λ取何值时方程组有非零解，并求一般解。③+②(-1)对于齐次线性方程组，要使其有非零解，则要求：此时方程组有非零解。这时系数矩阵变为：①+②×3所以方程组化简为：得方程组的一般解：