高考数学复习资料(二项式定理).pdf

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1、二项式定理（1课时）知识要点：1.二项式定理：(ab)nC0anC1an1bLCkankbkLCnbnnnnn2.二项展开式的通项：TCranrbrr1n3.二项式系数：C0,C1,C2,L,CkL,Cnnnnnn4.组合总数公式：C0C1C2LCn2nnnnn典型范例：11例1：已知二项式()n(nN*)展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的24xx有理项。11解：由二项展开式的通项公式得，二项展开式中末三项的系数分别为Cn2,Cn1,Cn4n2nn11依题意得Cn2Cn2Cn

2、1，化简得8(n1)n(n1)，4nn2n注意到这里n1，故得n=818r∴TCr()8rx4(r0,1,2L8)r1828r设第r+1项为有理项，则有x的幂指数为整数，∴r=0，4，8，4∴T，T，T为有理项159∴所求二项展开式中的有理项分别为111351TC0()8x2x2，TC4()4x3x3，TC8()0x4x41822565828982点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。例2：已知(3x23x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数

3、和大992，求展开式中系数最大的项．分析：由系数间的关系可求n，然后求系数最大的项即求系数不小于其前一项和后一项的系数的项，可以列不等式组求解．解：令x＝1，得各项的系数和为（1＋3）n＝4n，而各项的二项式系数和为C0＋C1＋…＋Cn＝2n，nnn∴4n＝2n＋992∴2n＝32或2n＝－31（舍）31Cr3rCr-13r1r6r∴n＝5，设第r＋1项系数最大，则55即Cr3rCr13r113555rr11418∴≤r≤，又r∈Z∴r＝444226∴系数最大的项是第五项，且T＝C4x3(3x2

4、)4405x3．55点评：本思想方法不仅适用于求系数最大（小）项问题，在数列问题中也广泛采用．例3：设f（x）＝(12x3x2)6，试求f（x）展开式中含x5的项的系数．分析：对于三项的式子，可以将其中的两项当做整体运用二项展开式定理。解：设f（x）的通项T＝Ck（2x－3x2）k，设（2x－3x2）k中的第r＋1项含x5，则k＋16T＝Cr（2x）k－r（－3x2）r＝（－1）rCr2k－r·3rxk＋rr＋1kkkr5r0r1r2令得或或0rk6k5k4k3代入上式得x5的系数是－168．点

5、评：二项展开式有通项公式，仿此三项展开式也有通项公式，注意其应用，另外此题也可以用排列组合的知识解．练习：一、选择题1.在(x1)(x1)8的展开式中x5的系数是（）A.–14B.14C.–28D.28C4C514解：88，应选B。2.在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，x3的项的系数为（）A.74B.121C.–74D.–121(1x)5[1(1x)4](1x)5(1x)9解：考虑求和转化，原式=，∴原展开式中项的系数为1(1x)xC4C4121，应选D。591113.若(2x)

6、n展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于（）xx2x4A.4B.6C.8D.10解：n=6，r=4，故选B。14.如果(3x)n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中x3的系数是（）3x2A.7B.–7C.21D.–21解：令x1得，2n=128，解得n=7，从而所求系数为21，应选C。二、填空题15.(2x)6展开式中的常数项是（用数字作答）x解：240。6.若在(1ax)5展开式中x3系数为-80，则a=。解：-2。7.若(12x)2004aaxax2Lax2004，则(aa)(aa)L(aa

7、)=。（用数字作答）0122004010202004解：设f(x)(12x)2004aaxax2Lax2004,则f(0)a=1,f(1)aaaLa=1012200400122004∴原式2004a(aaLa)=2004。0122004x18.(2)5的展开式中整理后的常数项为。2x解:运用两个计数原理，展开后的常数项分为三类：5x1（1）5个式子均取2，则有C5(2)522；（2）5个式子中一个取，一个取，三个取2，则有52x1x11C1C3(2)3；（3）5个式子中两个取，两个取，一个取2，则有C

8、2()2C225242x523632∴它们的和为，即为所求常数项。2三、解答题9.设(4x1)200aaxax2Lax