高中数学椭圆焦半径公式及应用.pdf

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1、智愛高中數學椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。思路1：由椭圆的定义有：rr2a112故只要设法用x、a、c等表示出rr（或r·r），问题就可迎刃而解。01212由题意知r2xc2y2，r2xc2y2100200两式相减得rrrr4cx121204cx4cxrr002ex212rr2a012联立<1>、<2>解得：raex，raex1020点评：在raex与ra

2、ex中，ex前的符号不表示正、负，真正的10200正、负由x确定。0思路2：设焦点Fae，0、Fae，012则rr2a，即xae2y2xae2y22a1120000另有xae2y2xae2y24aex200000<2>÷<1>得：xae2y2xae2y22ex300000<1>、<3>联立解得：xae2y2raex0010xae2y2raex0020点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看

3、成两个未知数，构建方程组得解。思路3：推敲rxc2y2aex的沟通渠道，应从消除差异做起，根1000式中y2理应代换。0x2由点M在椭圆上，易知y2b2100a2b2b2c则rx22cxc2b2x21x22a·xa2100a20a20a0ex22aexa200由0e1，axa，知exa0故raex0010同理raex20点评：上述思路体现了先消元(y2)转换成关于x的二次三项式，再化成完全00平方式的思想。由a、e是常数与

4、axa，容易推出rac（xa01(max)0时取得），rac（xa时取得）。1(min)0思路4：椭圆的第二定义为求焦半径r铺设了沟通的桥梁。1如图，作椭圆的左准线l，作MH⊥l于H点MFa2则1e即rMFMH·ex·eaexMH110c0同理可求得：raex20点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点M、F的距离等价转化1成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。y2x21ab0x，y请你独立探求焦点在y轴

5、上的椭圆上任一点Ma2b200的两条焦半径（aey）。0一、椭圆焦半径公式x2y2P是椭圆＝1(ab0)上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离a2b2心率，则（1）

6、PE

7、aex，（2）

8、PF

9、aex。PPy2x2P是椭圆1(ab0)上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离a2b2心率，则（3）PEaey，(4)

10、PF

11、aey。PP以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式x2y2例1已知点P（x，y）是椭圆1上任意一点，F（-c

12、,0）和F(c,0)是a2b212cc椭圆的两个焦点.求证：

13、PF

14、=a+x；

15、PF

16、=a-x.1a2a【分析】可用距离公式先将

17、PF

18、和

19、PF

20、分别表示出来.然后利用椭圆的方程12“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知

21、PF

22、=(xc)2y2(1)1x2y2b2从椭圆方程1解出y2(a2x2)(2)a2b2a2c代（2）于（1）并化简，得

23、PF

24、=ax(-a≤x≤a)1ac同理有

25、PF

26、=ax(-a≤x≤a)2a【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式cr=a+exr=a-ex(e=)12

27、a从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r是x的1增函数，r是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可2得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P

28、到两定点F（-c，0），F（c，0）的距离的和12为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r=

29、PF

30、和r=

31、PF

32、.1122【分析】问题是求r=f（x）和r=g（x）.先可视x为参数列出关于r和r1212的方程组，然后从中得出r和r.12【解答】依题意，有方程组rr2a①12r2(xc)2y2②1r2(xc)2y2③2②-③得r2r