智爱高中数学椭圆焦半径公式及应用.doc

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1、智愛高中數學椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。思路1：由椭圆的定义有：故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。由题意知，两式相减得联立<1>、<2>解得：点评：在与中，前的符号不表示正、负，真正的正、负由确定。思路2：设焦点则，即另有<2>÷<1>得：<1>、<3>联立解得：点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。思路3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。由点M在椭圆

2、上，易知则由，知故同理点评：上述思路体现了先消元转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与，容易推出（时取得），（时取得）。思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点则即同理可求得：点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆上任一点的两条焦半径（）。一、椭圆焦半径公式P是椭圆＝1上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的

3、离心率，则（1），（2）。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则（3）。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式例1已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭圆的两个焦点.求证：

4、PF1

5、=a+；

6、PF2

7、=a-.【分析】可用距离公式先将

8、PF1

9、和

10、PF2

11、分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知

12、PF1

13、=(1)从椭圆方程解出(2)代（2）于（1）并化简，得

14、PF1

15、

16、=(-a≤x≤a)同理有

17、PF2

18、=(-a≤x≤a)【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+exr2=a-ex(e=)从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定

19、义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=

20、PF1

21、和r2=

22、PF2

23、.【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组②-③得代①于④并整理得r1-r2=⑤联立①，⑤得【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，

24、对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭圆的第二定义，则有即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线缺乏定义的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3．P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的

25、椭圆上任意一点.直线l为x=-，PD1⊥l交l于D1.求证：.【解答】由椭圆的焦半径公式

26、PF1

27、=a+ex.对

28、PD1

29、用距离公式

30、PD1

31、=x-=x+.故有.【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F1（-c,0）（F2（c,0））与定直线l1:x=-(l2：x=)的距离之比为定值e（0

32、不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P（x，y）适合方程.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=

33、PF1

34、.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①同理还有r2=a-e