椭圆焦半径公式及应用面面观.docx

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1、椭圆焦半径公式及应用面面观在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。一、椭圆焦半径公式P是椭圆x2y2＝1(ab0)上一点，E、F是左、右焦点，e是椭圆的离心率，则a2b2（1）

2、PE

3、aexP，（2）

4、PF

5、aexP。P是椭圆y2x21(ab0)上一点，E、F是上、下焦点，e是椭圆的离心率，则a2b2（3）PEaeyP，(4)

6、PF

7、aeyP。以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。（一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等

8、同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.例1已知点P（x，y）是椭圆x2y21上任意一点，F1（-c,0）和F2(c,0)是椭a2b2ccx.圆的两个焦点.求证：

9、PF1

10、=a+x；

11、PF2

12、=a-aa【分析】可用距离公式先将

13、PF1

14、和

15、PF2

16、分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消y”即可.【解答】由两点间距离公式，可知

17、P

18、F1

19、=(xc)2y2(1)从椭圆方程x2y21解出a2b22y2b2(a2x2)(2)a代（2）于（1）并化简，得

20、PF1

21、=acx(-a≤x≤a)a同理有

22、PF2

23、=ac(-a≤x≤a)xa【说明】通过例1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+excr2=a-ex(e=)a从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P（x,y）横坐标的一次函数.r1是x的增函数，r2是x的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y轴，关于原点）.（二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半

24、径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.例2．P(x,y)是平面上的一点，P到两定点F（1-c，0），F（2c，0）的距离的和为2a（a>c>0）.试用x，y的解析式来表示r1=

25、PF1

26、和r2=

27、PF2

28、.【分析】问题是求r1=f（x）和r2=g（x）.先可视x为参数列出关于r1和r2的方程组，

29、然后从中得出r1和r2.【解答】依题意，有方程组r1r22a①r2(xc)2y2②1r22(xc)2y2③②-③得r12r224cx④代①于④并整理得r1-r2=2cx⑤aracx1a联立①，⑤得cxr2aa【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含c而无b，其基础性显然.二、焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点P（x，y）是以F1（-c,0）为焦点，以l1：x=-a2为准线的椭圆上任意一点.PD⊥l1于D.按椭

30、圆c的第二定义，则有

31、PF

32、e

33、PF

34、e

35、PD

36、e(xa2)aex

37、PD

38、c即r1=a+ex,同理有r2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线xa2缺乏定义c的“客观性”.因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.例3．P（x，y）是以F1（-c，0），F2（c，0）为焦点，以距离之和为2a的椭圆上任意一点.直线l为x=-a2，PD1⊥l交l于D1.c

39、PF1

40、求证：e.

41、PD1

42、【解答】由椭圆的焦半径公式

43、PF1

44、=a+ex.对

45、PD1

46、用距离公式

47、PD

48、1

49、=x-(a2)=x+a2.cce(xa2

50、PF1

51、aex)ce.故有a2a2

52、PD1

53、xxcc【说明】此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点F12a2a2（-c,0）（F（c,0））与定直线)的距离之比为定值e（0

54、，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.例4．设点P（x，y）适合方程x2y21.求证：点P（x，y）到两定点F1（-c,0）a2b2和F2（c，0）的距离之和为2a（c2=a2-b2）.【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】P（x，y）到F1（-c,0）的距离设作r1=

55、PF1

56、.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex①同理还有r2=a-ex②①+②得r1+r2=2