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1、智愛高中數學椭圆焦半径公式及应用在椭圆曲线中,焦半径是一个非常重要的几何量,与其有关的问题是各类考试的热点,故值得我们深入研究。思路1:由椭圆的定义有:rr2a112故只要设法用x、a、c等表示出rr(或r·r),问题就可迎刃而解。01212由题意知r2xc2y2,r2xc2y2100200两式相减得rrrr4cx121204cx4cxrr002ex212rr2a012联立<1>、<2>解得:raex,raex1020点评:在raex与ra
2、ex中,ex前的符号不表示正、负,真正的10200正、负由x确定。0思路2:设焦点Fae,0、Fae,012则rr2a,即xae2y2xae2y22a1120000另有xae2y2xae2y24aex200000<2>÷<1>得:xae2y2xae2y22ex300000<1>、<3>联立解得:xae2y2raex0010xae2y2raex0020点评:把<1>、<3>两式左边的两个根式看
3、成两个未知数,构建方程组得解。思路3:推敲rxc2y2aex的沟通渠道,应从消除差异做起,根1000式中y2理应代换。0x2由点M在椭圆上,易知y2b2100a2b2b2c则rx22cxc2b2x21x22a·xa2100a20a20a0ex22aexa200由0e1,axa,知exa0故raex0010同理raex20点评:上述思路体现了先消元(y2)转换成关于x的二次三项式,再化成完全00平方式的思想。由a、e是常数与
4、axa,容易推出rac(xa01(max)0时取得),rac(xa时取得)。1(min)0思路4:椭圆的第二定义为求焦半径r铺设了沟通的桥梁。1如图,作椭圆的左准线l,作MH⊥l于H点MFa2则1e即rMFMH·ex·eaexMH110c0同理可求得:raex20点评:应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点M、F的距离等价转化1成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解,是上述四条思路中的最佳途径。y2x21ab0x,y请你独立探求焦点在y轴
5、上的椭圆上任一点Ma2b200的两条焦半径(aey)。0一、椭圆焦半径公式x2y2P是椭圆=1(ab0)上一点,E、F是左、右焦点,e是椭圆的离a2b2心率,则(1)
6、PE
7、aex,(2)
8、PF
9、aex。PPy2x2P是椭圆1(ab0)上一点,E、F是上、下焦点,e是椭圆的离a2b2心率,则(3)PEaey,(4)
10、PF
11、aey。PP以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。(一)用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式x2y2例1已知点P(x,y)是椭圆1上任意一点,F(-c
12、,0)和F(c,0)是a2b212cc椭圆的两个焦点.求证:
13、PF
14、=a+x;
15、PF
16、=a-x.1a2a【分析】可用距离公式先将
17、PF
18、和
19、PF
20、分别表示出来.然后利用椭圆的方程12“消y”即可.【解答】由两点间距离公式,可知
21、PF
22、=(xc)2y2(1)1x2y2b2从椭圆方程1解出y2(a2x2)(2)a2b2a2c代(2)于(1)并化简,得
23、PF
24、=ax(-a≤x≤a)1ac同理有
25、PF
26、=ax(-a≤x≤a)2a【说明】通过例1,得出了椭圆的焦半径公式cr=a+exr=a-ex(e=)12
27、a从公式看到,椭圆的焦半径的长度是点P(x,y)横坐标的一次函数.r是x的1增函数,r是x的减函数,它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式,还可2得椭圆的对称性质(关于x,y轴,关于原点).(二)、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式,虽然过程简便,但容易使人误解,以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性,我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式,是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义,对焦半径直接用距离公式即可.例2.P(x,y)是平面上的一点,P
28、到两定点F(-c,0),F(c,0)的距离的和12为2a(a>c>0).试用x,y的解析式来表示r=
29、PF
30、和r=
31、PF
32、.1122【分析】问题是求r=f(x)和r=g(x).先可视x为参数列出关于r和r1212的方程组,然后从中得出r和r.12【解答】依题意,有方程组rr2a①12r2(xc)2y2②1r2(xc)2y2③2②-③得r2r