解析几何轨迹方程的高考题总结.pdf

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1、解析几何中求轨迹方程的常见方法一、直接法当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2y21，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数0（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．MNMO2ON21解：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则有，即，MQMQx2y21．整理得(21)x2(21)y242x(142)0，这就是动点(x2)2y2M的轨迹方

2、程．55若1，方程化为x，它表示过点(,0)和x轴垂直的一条直线；442213222132若λ≠1，方程化为（x－）2y2，它表示以(,0)为圆心，21(21)22121为半径的圆．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.例2已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a,c,b依次构成等差数列，且acb，AB2，求顶点C的轨迹方程.yCAOBx2解：如右图，以直线AB为x轴，线

3、段AB的中点为原点建立直角坐标系.由题意，a,c,b构成等差数列，2cab（两定点的距离等于定长—椭圆），即

4、CA

5、

6、CB

7、2

8、AB

9、4，又CBCA，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，x2y2a2,c1，b3，故C的轨迹方程为1(x0,x2).43三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。例3抛物线y24x焦点弦的中点轨迹方程是。四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析

10、图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点A(3,2)、B(1,4)，过A、B作两条互相垂直的直线l和l，求l和l1212的交点M的轨迹方程.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标x,y间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到x,y间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线y22px（p0）的顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，求弦AB的中点M的轨迹方程.例6设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）

11、设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在OP该直线上，且tt21，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是OQ什么图形．六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.x2y2例7如右图，垂直于x轴的直线交双曲线1于M、N两点，A,A为a2b212双曲线的左、右顶点，求直线AM与AN的交点P的轨迹方程，并指出轨迹的12形状.yMPAOAx12N例8已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB

12、在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．七、代入法当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点P的坐标x,y来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点P的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例9如图，从双曲线C:x2y21上一点Q引直线l:xy2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.yPQNOx例10已知抛物线y2x1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．y2

13、4x3解：设弦端点A(x,y),B(x,y)，AB中点为M(x,y)，则111122y24x22yy2yyyy4因为1212yyyy所以y22(x1)xx12x1x212x1124解：由平面几何知识可知，当ABM为直角三角形时，点M的轨迹是以AB为152直径的圆.此圆的圆心即为AB的中点(1,1)，半径为AB，方程为22(x1)2(y1)213.故M的轨迹方程为(x1)2(y1)213.15解：设M(x,y)，直线OA的斜率为k(k0)，则直线OB的斜率为.直线OAk

14、2pykxx2p2p的方程为ykx，由解得k2，即A(,)，同理可得y22px2pk2kykB(2pk2,2pk).pxpk2由中点坐标公