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1、常微分方程阶段复习题一、填空题dy1.方程xtany的所有常数解是.dx2.若y=y(x),y=y(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示12为.dy3.方程x2y2定义在矩形域R:2x2,2y2上,则经过点(0,0)dx的解的存在区间是_______4.方程M(x,y)dxN(x,y)dy0有只含x的积分因子的充要条件是_______dy5.求=f(x,y)满足(x)y的解等价于求积分方程___________________的连dx00续解。dy16.方程(1y2)2满足解的存在唯一性定理条件的区域是.dxdy7
2、.f(x,y)连续是方程f(x,y)初值唯一的条件.ydxdyP(x)dx8.P(x)yQ(x)称为一阶线性方程,它有积分因子e,其通解为_________。dx9.函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果_______。10.若(x)为毕卡逼近序列(x)的极限,则有(x)(x)______。nn二、单项选择题1.微分方程(y)3y1的阶数为()(A)一(B)二(C)三(D)五2.微分方程xyylnyylnx是()(A)可分离变量方程;(B)齐次方程;(C)一阶线性微分方程;(D)伯努利方程dyyy3.微分方程2
3、的解为()dxxx(A)y(lnxC)2x;(B)y0;(C)y=(lnx+C)2x和y=0;(D)以上都不对。4.曲线上任意点的斜率为2x,且通过点(1,3)。则表示该曲线的函数为()(A)y=x2c(B)yx2(C)yx22(D)y2xc(c为任意常数)5.设f(x),f(x)为已知的连续函数,则方程yf(x)yf(x)f(x)的解是()(A)yf(x)1cef(x);(B)yf(x)1cef(x);(C)yf(x)ccef(x);(D)yf(x)cef(x)6.微分方程ylnydx(xlny)dy0
4、是()(A)可分离变量方程(B)线性方程(C)全微分方程(D)贝努利方程dy7.方程y(0y)过点(0,0)有().dxdy8.求解方程x3y33xy0(注y),需作变换().dx(A)yp(B)y3=p(C)x3u(D)不需变换(A)一个解(B)两个解(C)无数个解(D)三个解9.方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的所有常数解是().(A)x1(B)y1(C)y1,x1(D)y1,x14.dy10.方程1y2过点(0,0)的解为ysinx,此解存在区间是().dx(A)(,)(B)(,0]
5、(C)[0,)(D)[,]22三、求下列方程的通解或通积分:dy1.ey(xx3)dxdy2.x2xyy2dxdy3.yxy5dx2xy23x24.dxdy0y3y45.(x21y)dxxdy06.eyyx0dy7.(x1)ny(1x)n1exsinxdx8.xdyydx(x24y2)dxx9.已知f(x)f(t)dt=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。0dy四.求方程xy2经过(0,0)的第三次近似解dx五.1.已知某曲线经过点(11)它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标求它的方程2.求一
6、曲线,具有如下性质:曲线上任一点的切线,在x,y轴上的截距之和为1.3.求一曲线,此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数a.x六.设可导函数(x)满足:(x)cosx2(t)sintdtx1,求(x)。0七.将下列方程式化为一阶方程组d2xdx(1)xf(x)xg(x)0(2)mckxf(t)dt2dt(3)ya(x)ya(x)ya(x)y0123八.证明题dy1.如果f(x,y)在R上连续且关于y满足利普希兹条件,则方程f(x,y)的解与dxxy=y+f(x,y)dx的解等价。0x0f2.设f(x,y)及
7、连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依y赖与x的积分因子.dyf(xy)uxy3.证明方程dx经变换后可求解。