初中数学拔尖材料05整除的基本知识.pdf

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1、初中数学拔尖材料05整除的基本知识数的整除性问题在中学数学中一直占重要的地位，任何重要的考试都离不开这类问题．本讲主要介绍常用的整除的基本性质及其解题方法．一、整除的基本性质定义：若整数a能被整数b(b0)除尽（或者说a是b的倍数），则称a被b整除．a被b整除也称作b能整除a，用符号b

2、a表示；而b不能整除a，则用bŒa表示．有关整除的基本性质如下：（其中的字母均代表整数）⑴若b

3、a，c

4、b，则c

5、a．⑵若c

6、a，c

7、b，则c

8、(ab)．⑶若c

9、a，cŒb，则cŒ(ab)．⑷若b

10、a，则b

11、ac．⑸若b

12、a，c0，则bc

13、ac．⑹若b

14、a，c

15、d，则

16、bc

17、ad．⑺若abc，且m

18、a，m

19、b，则m

20、c．⑻若b

21、a，c

22、a，则[b,c]

23、a．⑼若b

24、a，c

25、a，且(b,c)1，则bc

26、a．⑽若c

27、ab且(a,c)1，则c

28、b．特别地，若质数p

29、ab，则必有p

30、a或p

31、b．（注：质数又名素数）．⑾若ab，n为正整数，则(ab)

32、(anbn)．⑿若ab，n为正偶数，则(ab)

33、(anbn)．⒀若ab，n为正奇数，则(ab)

34、(anbn)．⒁n个连续正整数之积必能被123Ln所整除．（注：这些性质，必须熟记．）典型例题例1．求证：三个连续正整数的积必能被6整除．例2．（1）设

35、x、y均为整数，若5

36、x9y，求证：5

37、8x7y．（2）设x、y、z均为整数，若11

38、7x2y5z，求证：11

39、3x7y12z．例3．已知7828161能被57整除，求证：7838163也能被57整除．例4．设n是正整数，试证：120

40、n(n21)(n25n26)．例5．已知3

41、4xy（x、y均为整数），求证：9

42、4x27xy2y2．例6．对任意正整数n，求证：352n123n1能被17整除．例7．试证明：若两个整数m、n使m2mnn2被9整除，则m和n都能被3整除．例8．求证：993993991991能被1984整

43、除．二、整数的整除性特征⑴能被2整除的数的特征：个位数字是偶数．⑵能被5整除的数的特征：个位数字是0或5．⑶能被4整除的数的特征：末两位数能被4整除．能被25整除的数的特征：末两位数能被25整除．⑷能被8整除的数的特征：末三位数能被8整除．能被125整除的数的特征：末三位数能被125整除．⑸能被3整除的数的特征：各位数字之和能被3整除．能被9整除的数的特征：各位数字之和能被9整除．⑹能被11整除的数的特征：奇数位数字的和与偶数位数字的和之差能被11整除．⑺能同时被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位的总和与偶位千进的总和之差能同时被7、11、13整除．例

44、如：38333295能否同时被7、11、13整除？先分节，38，333，295，因为奇位千进位的数之和为38+295＝333，偶位千进位数为333，所以（38+295）－333＝0，而0能同时被7、11、13整除，故38333295能被7、11、13同时整除，即能被7·11·13＝1001整除．典型例题例9．九位数32*35717*能被72整除，其中每一个星号“*”表示一个数码，求这个九位数．例10．求：在十进制中，各位数码是0或1，并且能被225整除的最小的正整数．例11．能被33整除的六位数19xy87的个数是多少？例12．把1开始的自然数依次写下去，直

45、写到第198位止，如123456789101112144424443L，求这个数被198位9除的余数．例13．求证：由数字0、1、2、3、4、5所组成的不重复六位数不可能被11整除．例14．绕着圆周写了2013个数字（都是0～9的自然数），已知从某一位置开始按顺时针方向读出这些数字，得到的2013位数能被27整除；求证：从任何一个位置开始按顺时针方向读出这些数字所得的2013位数，都能被27整除．a2012a2013a1a2a3a4例15．有一个2014位的数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，问是多少？综合练习1

46、．p是任意三个相邻偶数之积，则能整除所有这样的p的最大整数是_____________．2．设正整数n的各位数码之和为87721，则n的最小值为_______________．3．由1，2，3，…，9这9个数字组成的九位数中，能被11整除的最大数是________________．4．已知695xy155是99的倍数，则x________，y_________．5．四位数abcd(5c1)2，此四位数是_________．6．乘积50!123L4950，末尾0的个数是_________．7．把1059、1417和2312每个数除以d(d

47、1)所得余数相同，则d___________．8．