高考数学总复习专题讲解33---数系的扩充与复数的引入.doc

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1、高考数学总复习专题讲解33数系的扩充与复数的引入[考点要求] 1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加、减的几何意义.1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数,若b≠0,则a+bi为虚数,若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c,b=d(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

2、(4)复数的模:向量的模r叫做复数z=a+bi的模,即

3、z

4、=

5、a+bi

6、=.2.复数的几何意义复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量=(a,b).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法:===+i(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足

7、交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).1.(1±i)2=±2i;=i;=-i.2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).3.z·=

8、z

9、2=

10、

11、2,

12、z1·z2

13、=

14、z1

15、·

16、z2

17、,=,

18、zn

19、=

20、z

21、n.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a∈C,则a2≥0.(  )(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(  )(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.(  )(4)方程x2+x+1=0没有

22、解.(  )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×二、教材改编1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(  )A.-1 B.0C.1D.-1或1A [∵z为纯虚数,∴∴x=-1.]2.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(  )A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4iD [∵=+=-=-1-3i-2-i=-3-4i,故选D.]3.设复数z满足=i,则

23、z

24、等于(  )A.1    B.    C.    D.2A [=i,则z==i,∴

25、z

26、=1.]4.已知(1+2i)=

27、4+3i,则z=________.2+i [由(1+2i)=4+3i得===2-i.∴z=2+i.]考点1 复数的概念 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意列方程(组)求解. 1.[多选]若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是(  )A.z的虚部为-1B.

28、z

29、=C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-iABC [由题意得z===1-i.对于A,由z=1-i得复数z的虚部为-1,故A正确;对于B,

30、z

31、=

32、1-i

33、

34、=,故B正确;对于C,由于z2=(1-i)2=-2i,所以z2为纯虚数,故C正确;对于D,z=1-i的共轭复数=1+i,故D不正确.故选ABC.]2.(2019·唐山模拟)已知=2+i,则(z的共轭复数)为(  )A.-3-iB.-3+iC.3+iD.3-iC [由题意得z=(2+i)(1-i)=3-i,所以=3+i,故选C.]3.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则

35、z

36、=(  )A.0B.C.1D.C [法一:因为z=+2i=+2i=-i+2i=i,所以

37、z

38、=1,故选C.法二:因为z=+2i==,所以

39、z

40、====1,故选C.] 解决此类时,一定要先看

41、复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.考点2 复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法:复数的加、减、乘法类似于多项式的运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式. (1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z=(  )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i(2)计算:=(  )A.2B.-2C.2iD.-2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数

42、为,若(1-i)=2i(

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