高中数学-平面向量专题.docx

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1、第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向或的非零向量0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)

2、结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向；当λ<0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二.难点正本　疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向

9、线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测1．化简－＋－的结果等于________．2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_

10、______．3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝________(用b、c表示)．4．如图，向量a－b等于(　　)A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D四．题型分类深度剖析题型一　平面向量的有关概念例1　给出下列命题：①若

11、a

12、＝

13、b

14、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条

15、件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

16、a

17、＝

18、b

19、且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．变式训练1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1)若向量a与b同向，且

20、a

21、＝

22、b

23、，则a>b；(2)若

24、a

25、＝

26、b

27、，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若

28、a

29、＝

30、b

31、，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D

32、四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等题型二　平面向量的线性运算例2　如图，以向量＝a，＝b为边作▱OADB，＝，＝，用a、b表示、、.变式训练2△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设＝a，＝b，用a、b表示向量、、、、、.题型三　平面向量的共线问题例3　设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.(1)求证：A、B、D三点共线；(2)若＝3e1－ke2，且B、D、F三点共

33、线，求k的值．变式训练3设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如∥且AB与CD不共线，则AB∥

34、CD；若∥，则A、B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模