一元积分学的几何应用与重积分计算全程版-高等数学竞赛知识汇总.pdf

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1、一元积分学的几何应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积bX型区域D{(x,y)axb,g(x)yf(x)}的面积为Sdxdy[f(x)g(x)]dx;aDb由曲线yf(x),yg(x)与直线xa,xba所围图型的面积为Sf(x)g(x)dx;adY型区域D{(x,y)g(y)xf(y),cyd}的面积为Sdxdy[f(y)g(y)]dy;cDd由曲线xf(y),xg(y)与直线yc,ydc所围图型

2、的面积为Sf(y)g(y)dy;c1型区域D{(,),g()f()}的面积为Sdd[f2()g2()]d;2D2、旋转体体积bX型区域D{(x,y)axb,0g(x)yf(x)}绕x轴旋转一周的V=[f2(x)g2(x)]dx;xabyf(x)0,yg(x)0,xa,xba所围图形绕x轴旋转一周的V=f2(x)g2(x)dx;xadY型区域D{(x,y)0g(y)xf(y),cyd}绕y轴

3、旋转一周的V=[f2(y)g2(y)]dy;ycdxf(y)0,xg(y)0,yc,ydc所围图形绕y轴旋转一周的V=f2(y)g2(y)dy;ycbX型区域D{(x,y)0axb,g(x)yf(x)}绕y轴旋转一周的V=2x[f(x)g(x)]dx;yabyf(x),yg(x),xa,xba0所围图形绕y轴旋转一周生成的V=2xf(x)g(x)dx;yadY型区域D{(x,y)g(y)xf(y),0cyd}绕x轴旋转一周的V

4、=2y[f(y)g(y)]dy;xcdxf(y),xg(y),yc,ydc0所围图形绕x轴旋转一周的V=2yf(y)g(y)dy;xcbD{(x,y)axb,kg(x)yf(x)}绕yk旋转一周的V={[f(x)k]2[g(x)k]2}dx;abyf(x)k,yg(x)k,xa,xba所围图形绕yk旋转一周的V=[f(x)k]2[g(x)k]2dx;abD{(x,y)kaxb,g(x)yf(x)}绕xk旋转一周的

5、V=2(xk)[f(x)g(x)]dx;a注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示x,y3、曲线的弧长（数三不要求）bL:xf(t),yg(t),t[a,b]的弧长L=dsf'2(t)g'2(t)dt;tLaL:f(),[,]的弧长L=dsf2()f'2()d;L4、旋转体的侧面积（数三不要求）bL:yf(x)0,x[a,b]绕x轴旋转一周的侧面积S=2f(x)ds2f(x)1f'2(x)dx;

6、xLaD{(x,y)axb,0g(x)yf(x)}绕x轴旋转一周的S=2f(x)dsg(x)dsxyf(x)yg(x)b2[f(x)1f'2(x)g(x)1g'2(x)]dxa（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域D对称于x轴时，令D是D关于x轴某一侧的部分，则有2f(x,y)d,若f(x,y)f(x,y)关于y为偶f(x,y)f(x,y)dD'D连续0,若f(x,y)f(x,y)关于y为奇上述性

7、质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于x的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若f(x,y)f(x,y)，则有f(x,y)d0.D（4）若将x,y互换，积分域D不变，（D关于yx对称）1则f(x,y)df(y,x)d[f(x,y)f(y,x)]d（轮换性）2DDD2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（数一）（1）当积分域对称于xoy面时，令'是关于xoy面某一侧的部分，则有2f(x,y,z)dv,若f(x,y,z)f(x,y,z)关于z

8、为偶f(x,y,z)f(x,y,z)dv'连续0,若f(x,y,z)f(x,y,z)关于z为奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将x,y,z互换，积分域不变，则f(x,y,z)dvf(x,z,y)dvf(y,z,x)dvL（轮换性）3、记忆重积分算法bh(x)对X型区域D{(x,y)axb,g(x)yh(x)}，f(x,y)ddxf(x,y)dyag(x)D