资源描述：
《高等数学竞赛讲座(一元积分学).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第二讲积分学一、不定积分1.原函数定义对函数若存在函数使得则称函数是函数的原函数;原函数的全体称为函数的不定积分,记为即:注意:涉及到原函数的问题是若是的原函数例1若是函数的原函数,则解由定义得所以例2设有原函数求解`因所以从而2.不定积分的基本方法⑴第一类换元积分法——凑微分法⑵第二类换元积分法——变量替换法使用变量替换时应注意的几个问题:①对根式问题处理的有效方法;②替换表达式必须是个单调函数;③最终的形式必须写成关于的函数.⑶分部积分法分部积分法使用的几个要点:①函数的选择;②换元积分法和分部积分法的交替使用;③积分表达式的重复出现.⑷有理函数的积分——高斯分
2、解⑸三角函数的积分——万能代换尤其注意三种特殊形式下的代换形式⑴若则可用代换:⑵若则可用代换:⑶若则可用代换:例3计算不定积分解当时,令则有标准代换反代换当时,令由上面计算结果有例4求积分解令则两式相加后得例5求积分解1用变量替换法又所以从而解2用分部积分法所以例6求解例7求积分解从而有令同理即有继续分解有两边积分之有例8求积分解因故原积分为例9求积分解令故原积分为例10求积分解因所以原积分为注积化和差公式例11求积分解解2即有从而有因此上面积分为因此原积分为二、定积分1.定积分的定义及性质基本性质性质设及分别是在上的最大值和最小值,则续,则在区间上至少存在点使得下
3、式成立:性质（定积分中值定理）如果函数在上连积分中值定理的几何解释:解令例12求极限从而例13证明不等式解此问题是一个极值问题.令则注意到该函数是个开口向上的抛物线,故驻点即为函数的极小值点,因而是被积函数的最大值点.又所以故由积分性质得例14设是区间上的连续函数,且证明证对任意的在区间使用中值定理.记则有再由积分性质得即例15设是区间上的单调增加连续函数,证明证由积分中值定理由此证明了原不等式.2.变限积分函数及导数设是区间上的连续函数,记则是区间上的可导函数,且上式的更一般形式是则若为连续函数,是可导函数,更一般的是则若例16求连续函数使得且解因所以原式变形为两
4、边求导后得到即有两边做上的积分,则有即例17求常数使得解容易看到该极限为型.由罗比达法则欲使极限存在且不为零,则必有此时有例18设证明在上有界.证因即为偶函数.故只需证明函数在上有界即可.注意到函数在上连续,故只需证明存在即可.又故函数在上有界,又函数在上连续,从而有界,所以函数在上有界.3.定积分的计算⑴牛顿——莱布尼茨公式如果函数函数是的一个原函数,则⑵换元积分法注意四种基本类型和相应的换元方法.⑶分部积分法常用的几个积分公式1.若则2.若并注意到右边的积分与无关.3.若且是周期为的周期函数,则4.5.例18求积分解记则所以原积分为例19设求解由分部积分法又有积
5、分上限函数的求导公式,得而上式的前一项为零,所以例20设且满足求解令等式两边积分例21求积分解因所以该积分仅为无穷区间上的广义积分.又又所以例22计算积分解该函数形式上是反常积分,本质上还是常义积分.但要注意符号上的问题.又所以,原积分为三、典型例题选讲例1已知的一个原函数为求解由已知条件及原函数的定义知而例2求积分解例3求积分解令所以原式为例4求积分解例5求积分解例6设在上连续,且证明:证由故对于任意的存在当时,有又注意到所以例7求极限解在区间中有注意到同理所以例8设为连续可微函数,求并由此求积分解所以例9证明⑴⑵证⑴因为单调减少函数,所以即有相加后有即⑵由⑴得
6、注意到所以
