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1、数学竞赛讲座体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷,有了它,你们才能爬上科学的大山.____华罗庚____解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的,只要经过你自己的体验,它对你来讲可以成为一种楷模,当你在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。_____乔冶.波利亚____不定积分第一讲注:不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具,为解微分方程服务.1、原函数与不定积分连续函数一定有原函数．(1)定义:一.基本概念例2函数为的原函
2、数，当时，有，且，，试求.解：因，所以而由得，从而故(2)微分运算与求不定积分的运算是互逆的.(3)不定积分的性质2、基本积分表p210是常数)第一类换元法二.积分法（凑微分法）(1)由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.(2)换元法:第二类换元法常见类型:常用代换:(3)分部积分法分部积分公式选择u的有效方法:L,I,E选择法L----对数函数；I----反三角函数；E----指数函数；(4)、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分真分式化为部分分式之和的待定系数法（2）三角函数有理式的积分令（3）简单无理函数的积分讨论类型：解决方法：作代换去掉根号．(造一个分子是
3、分母的导数.)例9(97考研题)例10解几种常见技巧:1.循环现象:2.折项抵消法:注:遇到不可积的积分只能采用折项抵消法3.二项代换法:4.递推法:5.关于绝对值的积分例17设为上的连续偶函数，证明的原函数中恰有一个是奇函数.证：令则∴为奇函数，设也是的一个原函数，且为奇函数，则且，(00年竞赛题)例18（2000年省竞赛题）解：原式例17(机动)解定积分第二讲一.基本概念:1.定义:2.性质:(3)（5）.(估值定理)（6）.（定积分中值定理）定理2定理33.定积分存在定理定理1曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值4、定积分的几何意义二.定积分的计算:4.几个重要的结论:(2)若f(x
4、)是以T为周期的连续函数,则为正偶数为大于1的正奇数例3.（96年省竞赛题）例4（2005年考研题）的方程为，点（3，2）是它的一个拐点，与分别是曲线在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为具有三阶连续导数，计算定积分.（2，4）.设函数如图，曲线直线yl1l2y=f(x)C12341234xO解：例5(00省竞赛题)设连续函数满足，求.解：设，，则（3分）∴由上两式解出∴例6（96年省竞赛题），求解法1：（2分）解法2：例7（2000年省竞赛题）设，且，求解：＝例8设求.解：∴（2000年省竞赛题）例9（1994年考研题）(1)设，则有故选【D】.三.定积分的几类典型问题:1.处理
5、变上限定积分:例11设其中在上连续，且证明:在内是单调增加的.证明：单调增加.（02年省竞赛题）具有连续导数,且满足方程,求例12设(99年考研题).例13.设是连续函数,证明:只与s有关,其中t>0,s>0.(87年考研题).设8..例14（2005年考研题）在[0,1]上的导数连续，且证明：对任何，有设.证法一：设则在[0,1]上的导数连续，并且由于时；因此，即在[0,1]上单调递减.注意到而故因此时，，由此可得对任何有.证法二:由于时，，因此在[0,1]上单调递增，又由于时，，因此从而例15设在内连续,,对任意满足,求.例16（91年省专科竞赛题）设上的单调减少的连续函数，试证明：
6、证：记，则（2分）（2分）应用积分中定理，知存在，使得.∴.∴由于在上单调减少，故，从而（2分）∴在上单调增加，又，∴.得证.例17设在上连续，且，证明在上至少有两个零点.证明：令在上连续，，由罗尔定理，，使即（00年省竞赛题）(技巧)假设在上只有一个零点，因，可知在与上异号，因而当，且时（或<0）.故从而导出矛盾，故在上至少有两个根（零点）.例18（1999年考研题）连续，且已知求的值.，则，于是设函数解：令上式两边x求导，得例19证证:2.关于积分等式的证明:方法:(1)变量代换,(2)分部积分,(3)微分法(4)中值定理。例20设,在内连续,为偶函数,且满足(1).证(A常数).(
7、2)计算例21（98年省竞赛题）在上连续，且试证：存在，使.证明：令由于，由罗尔定理得，存在使得即:.设(技巧)例22(96年省竞赛本科三级)3.关于积分不等式的证明:法1:利用定积分性质.例23在上连续,且证平方得结论.例24设,证明(1)(2)(01年考研题)例25（94年省竞赛题）证明：因而因而即.例26设在上单调增加且连续可微,证明:(98年省竞赛题).，证法1:，故在上单调增加，例27（96年本科三级竞赛题）在区间上可积，
