4一元积分学的几何应用与重积分计算 (1)

4一元积分学的几何应用与重积分计算 (1)

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1、-一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容(一)一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注:利用平面图形的面积与旋转体体积公式时,有时可借助参数方程或极坐标表示3、曲线的弧长4、旋转体的侧面积----(二)重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质:(1)当积分域对称于轴时,令是关于轴某一侧的部分,则有上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性(3)当积分域关于原点对称时,若,则有(4)若将互换,积分域不变,(关于对称)则(轮换性)2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质:(1)当积分域对称于面时,令是关于面某一侧的部分,则有上述性质可类似地应用于关

2、于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性(2)若将互换,积分域不变,则(轮换性)3、记忆重积分的算法对,对,对,特别地,对,为在面的投影则,此为先二后一法对绕轴()的旋转体区域,为在处的横截面区域,则,此为先一后二法特别地,截面面积为已知的立体体积对由球面与锥面所围成的区域,可利用球坐标法计算:----二、一元微积分的几何综合应用典型例题例1、是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则是(B)(A)连续奇函数(B)连续偶函数(C)在x=0间断的奇函数(D)在x=0间断的偶函数例2、如图,在上有连续的导数,则定积分()(A)曲边梯形ABOD面积(B)梯形ABOD面积(C)曲边三角形ACD

3、面积(D)三角形ACD面积例3、设D是由曲线,直线及轴所转成的平面图形,分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积,若,则.提示:,.例4、求曲线的全长.解:,而.例5、设,求其所示曲线与直线及轴,轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积.解:.例6、求曲线和所围图形的面积及其绕极轴旋转一周的.解:.例7、某曲线以极坐标可表示为,则其在处的切线的直角坐标方程为.则其斜渐近线的直角坐标方程为.(注意仅时,)例8、已知抛物线上任一点处的曲率半径为,是该抛物线上介于点与之间的弧长,求.----解:,,,故有原式.例9、求曲线与轴所围成图形的面积.提示:.例10、设是内过点的光滑曲线,当时

4、,曲线上任一点处的法线都过原点,当时,满足。求的表达式.提示:当时,,即,得,有当时,得的通解为由在处连续且可导,有故.例11、设是第一象限内连接点的一段连续曲线,为该曲线上任一点,点为在轴上的投影,为坐标原点.若梯形的面积与曲边的面积之和为,求的表达式.提示:,当时,得,则因,由的连续性知.例12、设在[0,1]上连续,在(0,1)内大于零,且(为常数),又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.提示:,则,由2,有因此,体积为,令,得.又,故知当时,体积最小.例13、曲线与直线及围成一曲边梯形.该图形绕轴旋转一周得一旋转体,

5、其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.提示:(Ⅰ)(Ⅱ).例14、设是区间上具有连续导数的单调增加函数,且.对任意的,直线,曲线以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数的表达式.----提示:由得由题意知,,则有,即解得,由,得,从而.三、重积分计算典型例题例1、计算.解:原式.例2、设区域由曲线围成,则.提示:对称奇偶性与二重积分的几何意义.例3、设是的第象限的部分,记,则(B)(A)(B)(C)(D)提示:由轮换性知由不等式性质知.例4、求二重积分,其中提示:由得,原式.注;令,则原式.

6、例5、设,计算.解:记,,:则.例6、设,则.提示:可化为直角坐标形式.(注:,)例7、计算二重积分,其中D为由曲线与所围区域.yO1x【解】:如图,----.例8、设为单调递减的可微函数,且,为其反函数,若曲线与及轴所围区域绕轴旋转一周的体积为,求.解:由题意知,,则原式.例9、连续函数的定义域为,且,其中,求.提示:由二重积分奇偶对称性性质知,有,得.例10、求.例11、已知函数具有二阶连续偏导数,且,,其中,计算.解:.例12、设f(r)在[0,1]上连续,则.----证明:,设,则注意到:,于是由夹逼定理可知要证结论成立.注:是错误的.例13、,其中由锥面与平面()围成的区

7、域.【解1】原式.【解2】原式.【解3】原式.例14、,其中是由球面所围成的闭区域.【解1】因区域具有轮换性,则故原式.【解2】原式.【解3】原式.例15、计算,由平面以及曲面围成,其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面.解:原式.例16、计算,其中.----解:.例17、求上的连续函数,使.提示:令,则.四、课后练习(一)一元微积分的几何综合应用1、设在区间上连续,则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为()2、设连续,曲线与轴围成三块面积,其中在轴的下方,

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