积分学的概念与计算

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1、一元积分学的概念与计算一、考试内容原函数、不定积分、定积分、反常积分的概念　基本积分公式牛一莱(N一L)公式积分的换元积分法与分部积分法　有理函数、三角函数的有理式、简单无理函数的积分　　定积分的对称奇偶性分段函数的积分积分变限函数（一）原函数存在与可积条件上的连续函数必有原函数，且在上可积；内的连续函数必有原函数，但在内不一定可积，如或为暇点；无界区间内的连续函数必有原函数，但在无界区间内不一定可积；定义在区间内的函数，若存在第一类间断点或暇点，必无原函数，但也许可积，如定义在上的函数存在有限个第一类间断点，则在上可积.（二）微积分基本关系，在上连续，则，，（三）基本

2、函数的不定积分;重要函数的不定积分术用拆、凑，（一）基本函数的定积分与反常积分为定积分二、典型例题1、计算下列不定积分（拆、凑结合）（1）.或.（2）.（3）.或.（4）.（5）.（6）.（7）.（8）.或.或.（9）或.（10）.例2、计算下列不定积分（换）（1）.（2）.（3）.或.（4）.（5）.例3、计算下列不定积分（分）（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6），移项得.例4、计算下列定积分（换(含对称奇偶性)）（1）设在内的连续函数，则.（2）（3）.（4），得.（5）.（6）.例5、分段函数的积分（1）（）.（2）.（3）求.解：.（4）已知，求.解：

3、.例6、设，则有---------------------（C）（A）（B）（C）(D)注：这类题需考虑积分不等式，若出现对称区间，注意对称奇偶性；若出现不同区间，注意换元.例7、反常积分：（1）（或令）.（2）.（3）.三、微积分综合计算例1、求==.例2、设且，求.提示：.例3、已知是函数的一个原函数,求．解：由题意有则原式=.例4、设,求.[解]原式==2.例5、设，，求.提示：.例6、已知,计算.提示：原式=(令).例7、已知，讨论在处的连续性和可导性.解：显然在处连续；而因，则其在处不可导.注：若在上除处外连续，当为其第一类间断点，则必连续，但在处未必可导（微

4、），因.提示：令，.例8、求的单调区间与极值.提示：令，得驻点，由列表法易得，的单调增区间为，其单调减区间为极小值为，极大值为.例9、设，求+.解：两边求导得，所以（为常数）又因为当时，，则.例10、已知：，且求解：令，则，故.例11、若满足，（），求.解：方程两边对求导，得解得又，故.例12、设是上的单调、可导函数，且，其中是的反函数，求.解：等式两端对求导得，即解得，而则，故.例13、设为的原函数，当时，有，且，试求.解：因即由知，，，.例14、若求与.解：令，则，由上述两式解之得.例15、设，求证：.提示：.四、课后练习1、求下列不定积分（①---⑧属（A）;⑨-

5、---⑩属（B））①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨⑩.2（A）、若，则.3（A）、.4、计算下列定积分（①---⑩属（A）;⑾----⒀属（B））①；②；③；④；⑤⑥；⑦；⑧；⑨；⑩，则；⑾；⑿；⒀.5（A）、设，则在处（Ｂ）（Ａ）不连续（Ｂ）连续但不可导（Ｃ）（Ｄ）6（A）、若成立，则有---（A）(A)(B)(C)(D)7（A）、设，则有（Ａ）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）8（A）、设则-----（D）(A)(B)(C)(D)9（A）、设，则有---------------（B）（A）（B）（C）　(D)10（A）、设函数，则.11（A）、设有一个原函数，则.12（B）

6、、设是到离最近的整数之间的距离，则.13（B）、设,则.14（B）、设、在上连续，为偶函数，且有①求证：；②求.15（A）、设可导，且，求.16（B）、设，则.17（B）、设，，则其极大，小值为.18（A）、设，且，则.19（A）、设，则．20（A）、设，计算.21（A）、若，则.22（A）、设，则.23（B）、设24（A）、设连续，，则，．25（A）、设连续，且，若，求.26（A）、求连续函数，使它满足.（）.27（A）、设函数，且反常积分收敛，则.28、计算下列反常积分（①---⑥属（A））①；②；③；④；⑤；⑥.