函数积分学1-12(不定积分的概念与性质)

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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组3.1不定积分高等数学A3.1.1原函数与不定积分的概念3.1.2不定积分的性质3.1.3基本积分表第3章一元函数积分学3.1不定积分3.1.3基本积分表3.1.1原函数的概念不定积分的概念与性质3.1.2不定积分的性质求积分习例2-143.1.2不定积分的概念思考题---分段函数的不定积分问题原函数的定义原函数的存在性定义不定积分的几何意义1.问题一、原函数的概念2.原函数的定义3.原函数的存在性定理1.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一,它们之间有什么联系？若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在I上存在原函数F(x).（为任意常数）如定理

2、2.设F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数,则证明:注意:(1)初等函数在其定义区间上都有原函数.(2)初等函数的原函数不一定是初等函数.(3)原函数不唯一.(4)如果f(x)在I上存在原函数,则称f(x)在I上可积.任意常数1.定义函数f(x)在区间I上的原函数全体,称为f(x)在I上的不定积分.记为积分号被积函数被积表达式积分变量二、不定积分的概念每一个求导公式,反过来就是一个求原函数的公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分的公式.注意:尽管不定积分中各个部分都有其独特的含义，但在使用时须作为一个整体看待.(2)积分变量是指d后面的那个量.(3)不定积分与原函数是两个不同的概念，它们

3、是整体与个体的关系，原函数是一个函数，不定积分是一族函数.2.不定积分的几何意义若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图形为f(x)的一条积分曲线.如图.xoy这些曲线在横坐标相同处切线平行.例1.设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解:设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为是常数);三、基本积分表特别地,证明:故结论正确.四、不定积分的性质不定积分的基本性质：(k为任意常数)性质(1)(2)说明微分运算与求不定积分的运算是互逆的.性质(3)可推广到有限多个函数之和的情况.五、求不定积分习例---直接积分法例2.

4、计算例3.计算例4.计算例5.计算例6.计算例7.计算例8.计算例9.计算例10.计算例11.计算例12.计算例13.计算例14.计算解:+C例2.计算例3.解:例4.解:例5.解:例6.解:解:例7.计算解:例8.计算分式化成最简真分式的代数和解:例9.计算分式化成最简真分式的代数和例10.解:假分式化成多项式加真分式例11.解:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.说明：例12.解:例13.解:解:说明:被积函数为三角函数时需要进行三角恒等变形，才能使用基本积分表.例14.计算思考题----分段函数的不定积分的求法先求各分段部分在相应区间内的原函数考察在分界点处函数的

5、连续性例15.例16.例15.解:例16.解: