不定积分的概念与性质(II)

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1、第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结【例】1.【定义】一、原函数与不定积分的概念【原函数存在定理】：简言之：连续函数一定有原函数(存在性).其证明将在下一章中讨论【问题】(1)原函数是否唯一？【例】（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？【关于原函数的说明】（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）【证】（为任意常数）由P131定理可知任意常数积分号被积函数2.【不定积分的定义】被积表达式积分变量【例1】求【解】【解】【例2】求【例3】设曲线通过点（1

2、，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.【解】设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为显然，求不定积分得到一积分曲线族由不定积分的定义，可知【结论】微分运算与求不定积分的运算是互逆的.3.【不定积分的几何意义】4.【不定积分与微分的关系】【实例】【启示】能否根据求导公式得出积分公式？【结论】既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表【基本积分表①】是常数);【说明】……①……②①、②两式合并【例4】求积分【解】根据积分公式（2）【证】等式成立.（2）此性质

3、可推广到有限多个函数之和的情况三、不定积分的性质右端含有积分号，故有任意常数【注】（1）即和的积分等于积分的和；1.【可加性】(思考：为什么？)【特别注意】此种情况下应设法化乘、除为加、减，再利用性质(1)可加性逐项积分2.【数乘性】【注】可加性和数乘性统称线性性质.【例5】求积分【解】性质（1）逐项积分【例6】求积分【解】【例7】求积分【解】【例8】【解】【注】这种对分子加一项、减一项或减一项、加一项的恒等变形方法以后经常用到.变形化为和式【例8】求积分【解】【说明】以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式.又如（1

4、）先三角恒等变换再逐项积分先三角恒等变换再逐项积分等等降幂法【解】所求曲线方程为基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系四、小结【思考题】符号函数在内是否存在原函数？为什么？【思考题解答】不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点(可去型或跳跃型间断点)的函数都没有原函数.