不定积分的概念与性质(1)

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1、第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）第四章不定积分要求：理解原函数与不定积分的概念及性质，知道不定积分是原函数的全体，熟记不定积分的基本积分表。重点：不定积分的概念及与导数的关系。作业：习题4－1（）逆运算问题加与减、乘与除、乘方与开方都是互为逆运算，逆运算在数学运算中占有很重要的地位，同时也是实际问题的需要，对于导数问题也是如此．微分（求导）运算已知动点的位移函数为，求动点在时刻速度，则=；反之，已知动点在任一时刻的速度，求位移函数，则．如：自由落体运动方程是，则速度；反之，已知它的速度,求位移函数，使．显然．这就是说我们有必要研究微

2、分运算的逆运算．一般地说，已知函数，求函数，使得，这就是本章要讨论的主要内容．第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念1．原函数定义1如果在区间I上，可导函数的导数为，即对任意，都有或，则称函数为函数在区间I上的原函数．例如因为，故正弦函数是余弦函数的一个原函数；又如当时，，故函数是函数在区间内的一个原函数，而函数是函数9第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）的导函数．由这些例子看出，求原函数就是求导数的逆运算，但为了进一步讨论求原函数问题，对于给定函数，需考虑哪些问题？问题提出（1）函数满足什么条件才有原函数？（2）若函数有

3、原函数，有多少个原函数？（3）若函数的原函数不是唯一的，那么它们之间的关系怎样？下面解决以上提出的三个问题：（1）原函数存在定理如果函数在区间I上连续，那么在该区间I上存在可导函数，使对任意都有成立．简单地说连续函数一定有原函数．我们知道一切初等函数在其定义区间上都连续，所以一切初等函数都有原函数．结论1所有初等函数在其定义区间上有原函数．（2）若函数在区间I上有原函数，有多少？因为，所以函数为函数的一个原函数；又因为，所以函数也为函数的一个原函数；显然，则函数也为函数的一个原函数．由此可得，若函数是函数在区间I上的一个原函数，则也为函数在

4、区间I上的原函数．因为，所以．结论2函数在区间I上若有原函数，则原函数有无穷多个．（3）既然函数在区间I上有无穷多个原函数，那么它们之间的关系怎样？已知函数为函数在区间I上的一个原函数，则．设函数为函数的任意原函数，则，于是9第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）所以．这表明函数与只差一个常数，因此函数的任一原函数可表示为．或的全体原函数所组成的集合，就是函数族．2．不定积分定义2设函数是函数在某区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数，称为函数在区间I上的不定积分，记作即．其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量．例1．求不

5、定积分．解因为，所以是的一个原函数．因此．例2．求不定积分．解因为当时，，所以函数是函数在区间内的一个原函数，因此在内有，又因为当时，，所以函数是函数在区间内的一个原函数，因此在内有．于是，把及内的结果合起来，得9第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）．3．不定积分的几何意义设函数的一个原函数为，在几何上表示一条曲线，称为积分曲线．因为，故积分曲线上点的切线斜率恰好等于被积函数在点处的函数值．如果将积分曲线沿轴方向上下移动长度，就得到积分曲线（为任意常数）称积分曲线族．积分曲线族的特点（1）任意两条曲线，有；（2）所有曲线在横坐标相同点处

6、切线斜率均为函数，且互相平行，即．例3．设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程．解设所求曲线方程为．据题意，曲线上任意点处的切线斜率为，即函数是的一个原函数，函数的原函数全体为．所以，所求曲线是中的一条，又所求曲线过点，故，得．从而得所求曲线方程为．4．不定积分的物理意义已知物体做变速直线运动，其运动速度为，求其运动规律，即位移函数，．9第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）例4．一物体由静止开始运动，经过秒后的速度是，问（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完需要多少时间？解设物体自坐标

7、原点沿着横轴正向由静止开始运动，位移函数为，则．于是，因为物体自坐标原点沿着横轴正向由静止开始运动，所以，从而，于是．因此，位移函数为．（1）3秒后物体离开出发点的距离为．（2）由，得物体走完需要时间为．从前面已经看出，如何求原函数的问题比求已知函数的导数要复杂的多，因为导数的定义具有构造性，对于任一已知的函数，均有办法求其导数，然而原函数的定义并未指出如何求原函数，为此需要介绍一些成套办法求原函数．二、不定积分的性质与微分性质相对应，可以得到不定积分性质．（1）微分运算与积分运算的关系①或，②或．（2）线性运算．说明①这个性质对于任何有限

8、个函数都是成立的．②任意常数可只写一个，如．如．三、基本积分表9第四章不定积分（§不定积分的概念与性质）在微分运算中，我们用一些基本初等函数的微分公式作为基础，对函数进行微分运算