4（1)不定积分的概念与性质

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1、1第四章不定积分求原来那个函数的问题.已知某曲线的切线斜率为2x,本章研究微分运算的逆运算已会求已知函数的导数和微分的运算.解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如某质点作直线运动,已知运动速度函数求路程函数.常要求此曲线的方程.1.2.不定积分.indefiniteintegral2第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念基本积分公式不定积分的性质小结思考题作业indefiniteintegral第四章不定积分3一、原函数与不定积分的概念几何问题解例1设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点处横坐标的两倍,求曲线的方程.设曲线方程为满足此条件的函数有无穷多个

2、,如等都是.一般,所求曲线方程为C为任意常数.不定积分的概念与性质4定义1例1.原函数如果在区间I上,则称或原函数.一个或由知是原函数.也是的原函数,其中为任意常数.不定积分的概念与性质5问:?原函数存在问题则在该区间上存在可导函数即,连续函数一定有原函数.以后谈到函数的原函数时,总是对其连续区间而言.不定积分的概念与性质6如,问:否!问:是否有其他类型的原函数?否!不定积分的概念与性质7一般,的原函数(C为任意常数).因一个函数如果有原函数,就有无穷多个.在区间I上的一个在区间I上的任一原函数都其中C为某一常数.则定理定理表明:的一整族函数形如是f(x)的全部原函数.原

3、函数,结论的形式,可表为不定积分的概念与性质8故证的另一个原函数,则又只要找到f(x)的一个原函数,就知道它的全部原函数.在区间I上的一个原函数,则f(x)在区间I上的任一原函数都可表为其中C为某一常数.定理的形式,要证常数因为不定积分的概念与性质导数恒为零的函数必为常数某个常数9注意:若将”区间I”改为则定理的结论未必成立.如不定积分的概念与性质10积分变量积分常数被积函数定义2被积表达式2.不定积分不定积分.(1)定义全部原函数的一般表达式称为函数f(x)的总和(summa)记为积分号不定积分的概念与性质111.被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分.2.不

4、定积分表示那些导数等于被积函数的所或说其微分等于被积表达式的所有函数.有函数.因此绝不能漏写积分常数C.3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称为积分运算,它是微分运算的逆运算.4.以后不定积分的适用区间常指被积函数的连续区间.不定积分的概念与性质12例求解解例?不定积分的概念与性质13(2)不定积分的几何意义积分曲线称为的积分曲线.的图形向平行于y轴的方向任意上下移动,得出的无穷多条曲线,称为的图形是平面的一条曲线,是将曲线族.不定积分的概念与性质14由于不论常数C取何值,同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.有积分曲线族即x不定积分的概念与性质15解故所求曲线方

5、程为(3)积分常数的确定求通过点且其切线斜率为2x曲线.例在求原函数的实际问题中,有时要从全部原函数中确定出所需要的具有某特性的一个原函数,这时应根据这个特性确定常数C的值,从而找出需要的原函数.的曲线族为有不定积分的概念与性质16解例所以不定积分的概念与性质17由不定积分的定义结论微分运算与求不定积分的运算是如(1)或或互逆的.二、不定积分的性质不定积分的概念与性质18证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）(2)(2)，(3)称为线性性质.思考:k=0,等式是否成立?(3)不定积分的概念与性质19实例启示能否根据求导公式得出积分公式结论要判断一个不定积分公

6、式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.求导公式?积分公式.?三、基本积分公式积分运算和微分运算是互逆的，不定积分的概念与性质20基本积分公式(k是常数)说明：简写为不定积分的概念与性质21不定积分的概念与性质22熟记不定积分的概念与性质23注意:1.不定积分的答案形式可以不同,只要导数等于被积函数就行.如,不定积分的概念与性质242.3.绝大部分求不定积分是探索性的,有些或者没有原函数,或者写不出原函数.如,有原函数,但不是初等函数.在x=0不连续,没有原函数.不定积分的概念与性质25例求下列不定积分.出一些简单函数的不定积分,称为利用不定积分的性质和基本

7、积分公式,可求直接积分法.不定积分的概念与性质26例求积分解不定积分的概念与性质27例求积分解称为分项积分法.分项积分法利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形,不定积分的概念与性质28例求积分解不定积分的概念与性质以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.29解例不定积分的概念与性质30解所求曲线方程为不定积分的概念与性质已知一曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线例斜率为且此曲线与y轴的交点为(0,5),求此曲线的方程.31练习不定积分的概念与性质32练习不定积分的概念与性质33熟记基本积