D4-1不定积分概念及性质

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1、请倒背求导公式1第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分2二、基本积分公式三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质第四章3说是的导数.已知求其导数为现在反过来说，是的原函数.求其原函数已知41.原函数的定义：如果在开区间I内，可导函数的即都有，或那么函数称为f(x)在区间I上的原函数.例如导数为的原函数.是在区间上的原函数.一、原函数与不定积分的概念则说是在区间上的原函数.则说5问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若函数的原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数

2、.(下章证明)简言之：连续函数一定有原函数.2.原函数存在定理即在I内一定存在可导函数结论:初等函数在定义区间上有原函数.问题：(1)原函数是否唯一呢？(2)若不唯一，它们之间有什么联系？如：又如：63.原函数结构定理：证:(1)(2)由原函数的结构定理可知：如有原函数就有无数个.所以,知其一个原函数就知全部.7定义2.在区间I上的全体原函数称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;有定义知：若(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如：记作4.不定积分的概念8例1.解:解:

3、例2.注意:若在提出问题时不指明区间，则在解题时通常也不指明求出的原函数所适用的区间，只要确有区间，就有使得9例3.解:例4.设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为显然，求不定积分得到一积分曲线族.10的原函数的图形称为的图形：的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.5.不定积分的几何意义称为函数的积分曲线族.特点:任何一条积分曲线都可以由某一条沿y轴方向平移得到，并且积分曲线族上对应于同一坐标x的各点处有相

4、同的斜率11由不定积分定义可知:结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.6.微分法与积分法的关系如：或或先积后微,函数不变.先微后积,函数加C.1212345二、基本积分公式(P188)利用逆向思维(k为常数)13请大家熟记以上公式678910111213基本积分公式表(1)注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.14例1.求积分解:根据积分公式例2.求解:原式=例3.求解:原式=15三、不定积分的性质证明(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)推论

5、(线性性):16解:注意1：注意2：分项积分后,只需写出一个常数.检验积分结果是否正确,例4.求积分看它的导数是否等于被积函数.原式=只需对结果求导,解:例5.17解:例6.直接积分法：通过恒等变形,利用线性性把所给积分变成公式中有的形式，求出积分的方法.解:例7.18解:原式=例8.原式=解:例9.19原式=解:例10.例11.解:原式20解:原式=例12.例13.求解:原式=21解:例14.求原式=例15.22例16.解:例17.解:23内容小结1.不定积分的概念:•原函数与不定积分的定义•不定积分的

6、性质---线性性2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式积分性质作业:P1922(14)(15)(18)(20)(22)(23)(24)(26);5;7.预习:P193-P200背积分公式24基本积分公式(见P188)(13个)①幂2个②指2个③三角6个④有理式2个⑤无理式1个注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立,本章常把这个区间省去不写,第五章自然要考虑这个区间.P193T725