不定积分的概念及性质(III)

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1、第四章不定积分§4．1不定积分的概念及性质§4．1不定积分的概念及性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质三、基本积分表原函数、原函数存在定理不定积分、积分曲线微分与积分的关系一、原函数定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任一xI，都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．例如，sinx是cosx的原函数．又如当x(1，)时，在区间(1，)内的原函数．原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x

2、)，使对任一xI都有F(x)f(x)．简单地说就是：连续函数一定有原函数．两点说明：(1)如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C也是f(x)的原函数，其中C是任意常数．(2)如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则(x)F(x)C(C为某个常数)．二、不定积分的概念：定义2在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记作f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表x称为积分变量．根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是f(x)的不定积分，即达式

3、，ln

4、x

5、C．例3设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求的曲线方程为yf(x)，所以曲线方程为yx2C．因所求曲线通过点(1，2)，故21C，C1．于是所求曲线方程为yx21．按题设例1例2微分与积分的关系：从不定积分的定义可知：又由于F(x)是F(x)的原函数，所以积分曲线：f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线．1012112xy3x2积分曲线：y=x3+CC=0C=-1.5C=1C=2三、不定积分的性质和基本积分公式性质1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的

6、和，即性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即1、不定积分的性质kxC(k是常数)，arctanxC，arcsinxC，ln

7、x

8、C，sinxC，cosxC，2、基本积分公式(12)òexdx=ex+C，例6例5例7四、直接积分法例8例9ex3sinxC．arctanxln

9、x

10、C．例11例12例10例13tanxxC．4cotxC．例14例15例16课堂练习练习题4.13、（1）（3）（5）（7）（9）作业：P73——