不定积分的概念与性质(V)

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1、§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质四、基本积分公式五、不定积分的求法前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻的速度，要求物体的运动方程：。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。一、原函数与不定积分的概念1.原函数：设是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数，使对于该区间任意，都有关

2、系式：或成立，则称函数为函数在该区间上的一个原函数。例又因为：所以显然，，，都是的一个原函数。★由此不难得出：（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。（3）若为的一个原函数，则表示的所有原函数。2.不定积分的定义：设是在区间I上的一个原函数，则函数的全体原函数（c为任意常数）任意常数积分符号被积函数被积表达式积分变量3.如何求不定积分称为在该区间I上的不定积分。即：例1解：例2解：求求因为所以是的一个原函数，从而有因为所以是的一个原函数，从而有例3求因为结论（3）不是每个函

3、数在定义区间上都有原函数；在定义区间上的连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。（1）求函数的不定积分就是求的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数C即可。（2）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而的全部积分曲线所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分

4、曲线。而所组成的积分曲线族。其方程为的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，因此，不定积分的几何意义是轴向上设函数在某区间上的一个原函数为，则在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而二、不定积分的几何意义如下图所示：例4设曲线通过点（1,2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为三、不定积分的性质定理1微分运算与积分运算互为逆运算，即定理2定理3积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一个导数公式都可以得出一个

5、相应的积分公式。四、基本积分公式将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理）可以得出基本积分公式（基本积分表）。基本积分表是常数);基本积分表1.直接积分法（直接利用基本积分公式与性质求积分）解根据幂函数的积分公式例5求下列函数的不定积分（恒等变形法）五、不定积分的求法：(1)解:解:原式例6求下列函数的不定积分解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解：原式解所求曲线方程为3.基本积分表；5.不定积分的（线性）性质；1.原函数的概念：；2.不定积分的概念：；4.求微分与求积分的互逆关系；六、小结6.求不定积

6、分的基本方法：将所求积分转化为基本积分表中的积分。