4一元积分学的几何应用和重积分计算(1)

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1、一元微积分的几何综合应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示3、曲线的弧长4、旋转体的侧面积（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，则有上述性质可类似地应用于关于轴的对称性与函数关于的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若，则有（4）若将互换，积分域不变，（关于对称）则（轮换性）2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于面时，令是关于面某一侧的部分，则有上述性质

2、可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将互换，积分域不变，则（轮换性）3、记忆重积分的算法对，对，对，特别地，对，为在面的投影则，此为先二后一法对绕轴（）的旋转体区域，为在处的横截面区域，则，此为先一后二法特别地，截面面积为已知的立体体积对由球面与锥面所围成的区域，可利用球坐标法计算：二、一元微积分的几何综合应用典型例题例1、是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是（B）（A）连续奇函数（B）连续偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数例2、如图，在上有连续的导数，则定积分()（A）曲边梯形ABOD面积（B）梯形

3、ABOD面积（C）曲边三角形ACD面积（D）三角形ACD面积例3、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则．提示：，．例4、求曲线的全长.解：，而.例5、设，求其所示曲线与直线及轴，轴围成的区域绕轴旋转一周生成的旋转体体积．解：．例6、求曲线和所围图形的面积及其绕极轴旋转一周的.解：.例7、某曲线以极坐标可表示为，则其在处的切线的直角坐标方程为.则其斜渐近线的直角坐标方程为.（注意仅时，）例8、已知抛物线上任一点处的曲率半径为，是该抛物线上介于点与之间的弧长，求．解：，，，故有原式．例9、求曲线与轴所围成图

4、形的面积.提示：.例10、设是内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，满足。求的表达式.提示：当时，，即，得，有当时，得的通解为由在处连续且可导，有故.例11、设是第一象限内连接点的一段连续曲线，为该曲线上任一点，点为在轴上的投影，为坐标原点.若梯形的面积与曲边的面积之和为，求的表达式.提示：，当时，得，则因，由的连续性知.例12、设在[0,1]上连续,在(0,1)内大于零,且(为常数),又曲线与所围成的图形S的面积值为2,求,并问为何值时,图形S绕轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小.提示：，则，由2，有因此，体积为,令,得.又,故知当时

5、,体积最小.例13、曲线与直线及围成一曲边梯形.该图形绕轴旋转一周得一旋转体,其体积为,侧面积为,在处的底面积为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)计算极限.提示：(Ⅰ)(Ⅱ).例14、设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式.提示：由得由题意知,,则有，即解得,由，得，从而.三、重积分计算典型例题例1、计算．解：原式．例2、设区域由曲线围成，则．提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义．例3、设是的第象限的部分，记，则（B）（A）（B）（C

6、）（D）提示：由轮换性知由不等式性质知．例4、求二重积分，其中提示：由得，原式．注;令,则原式．例5、设，计算．解：记，，：则．例6、设，则．提示：可化为直角坐标形式．（注：，）例7、计算二重积分，其中D为由曲线与所围区域．yO1x【解】：如图，．例8、设为单调递减的可微函数，且，为其反函数，若曲线与及轴所围区域绕轴旋转一周的体积为，求．解：由题意知，，则原式．例9、连续函数的定义域为，且，其中,求.提示：由二重积分奇偶对称性性质知，有，得.例10、求.例11、已知函数具有二阶连续偏导数，且，，其中，计算．解：．例12、设f(r)在[0，1]上连续，则．证

7、明：，设，则注意到：，于是由夹逼定理可知要证结论成立．注：是错误的．例13、，其中由锥面与平面（）围成的区域.【解1】原式.【解2】原式.【解3】原式.例14、，其中是由球面所围成的闭区域.【解1】因区域具有轮换性，则故原式.【解2】原式.【解3】原式.例15、计算，由平面以及曲面围成，其中是由曲线绕轴旋转所生成的旋转面.解：原式.例16、计算，其中．解：．例17、求上的连续函数，使．提示：令，则．四、课后练习（一）一元微积分的几何综合应用1、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为（）2、设连续，曲线与轴围成三块面积，其中在轴

8、的下方，在轴的上方，若，则（）3、与轴、轴围成图形的面积为．4、求