一元微积分学的几何综合应用全程版（2016）.doc

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1、一元微积分的几何综合应用一、考试内容（一）函数的奇偶性.（二）一元积分学的周期性质（基本条件：为周期为的可积函数）注1：若将可积换为连续，可用求导法证明（含不行），否则，只能用换元法证明．注2：连续，则．（三）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积2、旋转体体积注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程表示3、曲线的弧长（数三不要求）4、旋转体的侧面积（数三不要求）6二、典型例题例1、设连续，则；若可积，结论成立吗？提示：令，则，故；若可积，.注：连续，则（易证）；若可积，结论成立吗？设，则

2、为偶函数，但非奇非偶；设，则为奇函数，但非奇非偶．例2、连续，且周期为，则周期为；若可积呢？提示：令则，故；注：连续，则（易证）；若可积，结论成立吗？若可积，结论不一定成立，如设．例3、求的单调区间与极值.提示：令，得驻点，由列表法易得，的单调增区间为，其单调减区间为极小值为，极大值为.例4、求由方程所确定的可导函数的可能极值点，并讨论这些点是极大点还是极小点.解：，令得，为驻点，为尖点，-/-0+递减非极值点递减极小点递增例5、设在上连续，单调不减，试证：在上连续且单调不减.提示：，.注：变限积分与函数比较

3、时，常用积分中值定理.6例6、如图，连续函数在上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设，则有（C）（A）(B)（C）（D）提示：，故选（C）.例7、求由曲线及在上半平面围成图形的面积及周长.解：，或.例8、试求圆：绕（）轴一周所生成的旋转体体积（）.提示：；.例9、已知曲线，求（1）该曲线过原点的切线的方程；（2）并求该曲线及切线与轴所围图形绕（）轴一周所生成的旋转体体积（）．提示：设切点为，则，有，则的方程为；．例10、设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕

4、轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，则．提示：，．例11、设函数，（1）确定该函数的单调增区间；（2）求由该函数所示曲线、直线及轴夹成的三边界封闭图形面积.提示：令，得该函数的单增区间为因，，则.例12、位于第一象限的图像与轴、轴所围区域的面积为．提示：面积．例13、曲线的弧长．提示：．6例14、设与及两轴所围区域绕轴而成的旋转体体积为;其与及轴所围区域绕轴而成的旋转体体积为，其中，求的最大值．提示：，，得，．三、课后练习1(A)、设函数在区间上连续，则是函数的(C)(A)连续点(B)跳跃间断点(C)可去间

5、断点(D)第二类间断点2(A)、设函数在处连续，则.3(A)、讨论在处的连续性、可导性．（连续又可导）4(B)、设连续，，且，讨论在处的连续性．[提示：在处连续]5(A)、设在上连续，在内可导，且，求证：在内单调递减．6(A)、在上连续，,证：在内单增．7（B）、设在内连续，且试证：①若为偶函数，则也是偶函数；（用求导法或换元法）②若单调不减，则单调不增.（提示：用积分中值定理）8（A）、设是连续函数是的原函数,则(A)(A)当是奇函数时必是偶函数(B)当是偶函数时必是奇函数(C)当是周期函数时必是周期函数(

6、D)当是单增函数时必是单增函数9（A）、设是周期为的连续函数，则周期为．10（B）、设周期为，试就满足连续或满足可积，证明下列等式成立：（1）；（2）．11（A）、求在上的最值及拐点.提示：最小值；最大值；拐点为.12（B）、若＋2＝，求连续函数在上的最值.提示：最大值为，最小值为.13（A）、曲线与轴所围成图形的面积可表为（C）6（A）（B）（C）（D）14（A）、设在区间上连续，则曲线夹在之间的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积为.15（A）、由曲线和直线及在第一象限中所围图形的面积为．16（A）、假设曲

7、线，轴和轴所围成区域被曲线分为面积相等的两部分，则．17（A）、椭圆绕轴旋转而成的旋转体体积与其绕轴旋转而成的旋转体体积哪个大？为什么？（大）18（A）、求曲线所围图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积．（）19（A）、设，及轴所围成的平面区域为，则绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所成的旋转体的体积为．20（A）、由曲线与直线及轴所围成的平面区域绕轴旋转一周的体积，试求该区域绕轴旋转一周的体积．（，）21（A）、若曲线的拐点为（0，2），且与位于其下方的另一条曲线被所夹，形成的平

8、面区域面积为4，则.22（A）、（1）求曲线()的拐点横坐标；（2）求该曲线与和所围成图形的面积．（）23（A）、过原点作切线，其与及轴所围区域为，则的面积为，绕旋转一周所得的旋转体的体积为．24（A）、已知曲线与曲线在点处有公切线，求①常数及切点；②两曲线与轴所围平面区域的面积；③该区域绕轴旋转一周所得旋转体体积．[①②③]25（B）、求围成的平面图形绕轴旋转所得的曲面面积，并求其绕轴旋转所得的旋