高等数学B：7_1向量及其运算.doc

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1、§7.1向量及其运算7.1.1向量的概念定义1既有方向又有大小的量称为向量。如力、位移、速度、加速度等。AB常用有向线段来表示向量。以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记作，也可用一个拉丁字母上面加一个箭头或用一个黑体字来表示向量。如向量，，，或a，i，v，F等。向量的大小称为向量的模，记作，模等于1的向量称为单位向量，与非零向量同向的单位向量称为向量的单位向量，记作。模等于零的向量称为零向量，记为，其方向不定。模为而方向与相反的向量称为的负向量（或逆向量）记为。两个向量与的方向相同或相反，称为平行或

2、共线，记为∥。显然零向量与任何向量平行。定义2两个向量与不论起点是否一致，若方向相同，模相等，则称它们是相等的，记作。即经平行移动后，两向量完全重合。允许平行移动的向量称为自由向量，本书讨论的向量均为自由向量。7.1.2向量的线性运算一、向量的加法与减法1．向量的加法法则。以两个非零向量、为边的平行四边形的对角线所表示的向量，称为两向量的和向量，记为+，这就是向量加法的平行四边形法则。9++从左图可以看出，若以向量的终点为向量的起点，则由的起点到的终点的向量也是与的和向量。这是向量加法的三角形法则。这个法则

3、可以推广到任意有限个向量相加的情形。减法是加法的逆运算，若，-则称与的差，或是与的差，分别记为或。2．向量的减法法则：+将向量与向量的起点重合，由向量的终点指向向量的终点的向量就是。+3．向量的加法具有下列性质：（1）（交换律）；（2）（结合律）；（3）；（4）；（5）。二、向量与数的乘法（数乘）1．向量的数乘的定义9设是一个非零向量，是一个非零实数，则与的乘积（简称数乘）仍是一个向量，记作，且（1）；（2）的方向当或时，规定。2．向量的数乘具有下列性质：（1）；（2）；（3）；其中都是数量。（4）若是非零

4、向量，则的单位向量为，故任一非零向量都可以表示为。3．定理：设向量，则向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使。例2．试用向量证明三角形的中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且为第三边长度的一半。解：如图，设D是AB的中点，E是AC的中点，则，∵，∴∥且。97.1.3向量的数量积与向量积一、向量在轴上的投影1．两个向量的夹角OAB设有两非零向量与，任取空间一点，作，，规定不超过的角（设）称为向量与的夹角。记为或，即。如果向量与中有一个是零向量，规定它们的夹角可在与之间可以任意取值。类似地可以规

5、定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角，这是不再赘述了。2．向量在轴上的投影设有向量及一，过的起点和终点，分别作垂直于平面，它们与轴分别交于，则有向线段的值，称为向量在轴上的投影，记为或，即，称为投影轴。注意：向量在轴上的投影是一个数量而不是向量。这个数的绝对值等于有向线段的长度，这数的符号由的方向决定，当与轴同向时，其值为正；反向时，其值为负。向量在轴上的投影，等于该向量的模乘以这个向量与轴的夹角的余弦，即。9易见，。由此可知，两个相等向量在同一轴上的投影相等。二、数量积AB1．数量积的概念设物体在常力作用下

6、沿某直线移动，其位移为，则作用在物体上的常力所作的功为。其中为力与位移为的夹角。定义3两向量、的模及其夹角余弦的乘积，称为向量与的数量积，记为·，即·。其中，只要有一个是零向量，则规定它们的数量积为零。数量积也叫点积或内积。由数量积的定义，上述作功问题可表示为·。∵，，∴·.2．数量积的性质（1）·；（·常记为，即·.）（2）设与是两个非零向量，则；（3）设与是两个非零向量，则。若两非零向量，则，即有·=0；反之，当、均为非零向量且·=0时，则，从而，即。当，中至少有一个是9零向量时，我们规定零向量与任何向

7、量都垂直。故两向量垂直的充要条件是·0。3．数量积的运算规律（1）交换律：··；（2）结合律：·））·；（3）分配律：·（·+·；例3．试用向量证明余弦定理。证：如图，作及向量，，，则有。∴.例4．已知，，两两垂直，且，，，求的长度，和它与向量的夹角。解：∵，，，∴，，。∵，∴。∵∴三、向量积（1）向量积的概念设为一根杠杆的支点，有一个力作用在这杠杆上P点处，与的夹角为，由力学可知，力对支点O的力矩是一向量，9的模等于力的大小与力臂的乘积，即，而的方向垂直于与所决定的平面，的指向是按右手法则从以不超过的角转

8、向握拳时，大拇指的指向就是的指向。OPM定义4设由向量所确定的满足：①、所决定的平面，其方向由右手法则确定；②。则称向量的向量积，记为。若、中有一个零向量，则规定它们的向量积为零向量。向量积也称为叉积或外积。向量积的模的几何意义：等于以、为邻边的平行四边形的面积。上述力对支点O的力矩，可表示为。2．向量积的性质（1）=，=；（2）=；（3）若、为两个非零向量，则∥=。证：若∥，则或，即有=0，=。反之，当、均为非