向量及其运算

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1、数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1，a2，„，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ„或a、b、c„等来表示，手写用在a、b、c„等字母上加一箭头表示。2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表

2、示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。向量的模和向量的数量向量的大小，

3、也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作

4、a

5、。注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/

6、a

7、。零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b

8、相等，记作a=b．规定：所有的零向量都相等．当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。数学中只研究自由向量。滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。相反向量与a长度

9、相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有-（-a）=a；零向量的相反向量仍是零向量。平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b．零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行．平行于同一直线的一组向量是共线向量。共面向量平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。向量的运算设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法

10、则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算率：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.AB-AC=CB.a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a

11、=0。实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a

12、≠0且λa=μa，那么λ=μ。3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。定义：两个向量的数量积（内积、点积）