向量及其运算.ppt

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1、一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系§7.1向量及其运算四、利用坐标作向量的线性运算上页下页铃结束返回首页五、向量的模、方向解、投影一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量有向线段的长度表示方向的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法下页一、向量概念既有大小,又有方向的量叫做向量.向量向量可用粗体字母、或加箭头的书写体字母表示.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB→向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法下页与起点无关

2、的向量,称为自由向量,简称向量.自由向量如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.向量的相等下页向量的模向量的大小叫做向量的模.单位向量模等于1的向量叫做单位向量.零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.向量的相等下页向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.a//b//c零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向

3、量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线共线向量与共面向量下页向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面首页二、向量的线性运算设有两个向量a与b,平移向量,使b的起

4、点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法c=a+b三角形法则平行四边形法则下页向量的加法的运算规律(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).下页向量的减法向量b与a的差规定为b-a=b+(-a).负向量三角不等式

5、a+b

6、

7、a

8、+

9、b

10、,

11、a-b

12、

13、a

14、+

15、b

16、,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.下页当=0时,

17、a

18、=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a

19、,规定a是一个向量,它的模

20、a

21、=

22、

23、

24、a

25、,它的方向当>0时与a相同,当<0时与a相反.>>>2.向量与数的乘法当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;下页(1)结合律(a)=(a)=()a;(2)分配律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量与数的乘积的运算规律向量的单位化于是a=

26、a

27、ea.当=0时,

28、a

29、=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模

30、a

31、=

32、

33、

34、a

35、,它的方向当>0时与a相同,当<0时与a相反.2.

36、向量与数的乘法当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;设a0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.下页例1形对角线的交点.于是解由于平行四边形的对角线互相平分,所以下页设向量a0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数,使b=a.>>>定理1(向量平行的充要条件)定理证明给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:点P实数x实数x称为轴上点P的坐标数轴与点的坐标首页说明：三、空间直角坐标系空间直角坐标系y轴z轴原点x轴在空间取定

37、一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系(2)数轴的的正向通常符合右手规则.(1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;下页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.下页在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xOy面,

38、yOz面和zOx面.卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.下页向量的坐标分解式以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有下页向量的坐标分解式上式称为向量r的坐标分解式xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之