向量及其线性运算.ppt

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1、★空间解析几何★傅里叶级数★多元函数微分学★多元函数积分学高等数学（下）翟文娟行政楼B2121平面解析几何：点有序数对（a，b）平面曲线第八章空间解析几何与向量代数空间解析几何：平面解析几何：点有序数对（a，b）平面曲线2第一节向量及其线性运算向量概念向量的线性运算空间直角坐标系利用坐标作向量的线性运算向量的模方向角投影31.向量概念数量：用实数表示.向量：既有大小又有方向的量.2.向量表示一、向量(vector)概念几何表示：以为起点为终点的有向线段.零向量模长为0的向量.方向？单位向量3.向量的模向量的大

2、小.或模长为1的向量.符号表示：或abc或4自由向量不考虑起点位置的向量.负向量相等向量大小相等方向相同记作4.相关概念记作两向量共线两向量平行共面若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.5特殊地，若‖(1)加法定义二、向量的线性运算（一）向量的加减法向量及其线性运算三角形法则平行四边形法则62.向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如:考虑多个向量相加的情况？7三角不等式(3)向量的减法82.数乘的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:1.定义实数与向量　的乘积为一个向量

3、.记为模为(<0)(>0)(二)数与向量的乘法(简称数乘运算)实质“伸缩”9考虑:向量与　的关系？结论：规定当则定理:两个非零向量　　平行存在唯一实数，使得(方向相同或相反)10例1在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用　　　表示向量MA,MB,MC和MD.解:=AC=2MC有MC=又=BD=2MD有MD=MB=MDMA=MCDABCM11（三）空间直角坐标系空间直角坐标系,称坐标系，或坐标系.点O叫做坐标原点(或原点)向量及其线性运算以分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.

4、三个坐标轴的正方向符合右手规则轴轴轴12由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫xoy面.yoz面、zox面,zIVVIVVII0xyVIIIIIIIII它们将空间分成八个卦限.1.坐标面132.空间向量(点)的坐标表示OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR=xi+yj+zkRQPOxyzM给定点M，对应有向量OM设OP=xi，OQ=yj，OR=zk，定义:有序数x,y,z称为OM的坐标，记为OM=（x,y,z）也称为点M的坐标，记为M(x,y,z)空间的点有序数组（坐标分解式）14特殊点的表示

5、:坐标轴上的点坐标面上的点15点M(2,-3,1)分别关于坐标原点、xOy面、y轴的对称点是()(A)(-2,3,-1);(B)(-2,-3,-1);(C)(2,-3,-1);(D)(-2,3,1).16向量及其线性运算（四）利用坐标作向量的线性运算（坐标分解式）17由按坐标表示式即为:当分母有一个为零理解为分子也为零.注向量及其线性运算也即向量与对应的坐标成比例:设向量定理∥存在唯一的实数18解设为直线上的点,oxyzAB例3已知两点以及实数在直线AB上求点M,使同理,得特别当时，M点坐标19五、向量的模、

6、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与OM=OP+PN+NM20例4证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由

7、M2M3

8、=

9、M3M1

10、,所以M1M2M3是等腰三角形.21例5在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设

11、MA

12、=

13、MB

14、.即:解得:所求点为M(0,0,)22设有两非零向量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为向量的

15、夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作2.方向角与方向余弦23方向余弦的性质:24例7已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.解:M1M2=(1,1,)

16、M1M2

17、=25解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹例8设点A位于第一卦限,26空间一点在轴上的投影过点A作轴u的垂直平面,即为点A在轴u上的投影.空间一向量在轴上的投影轴u称为投影

18、轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为那么轴u上的有向线段的值,称为向量在轴u上的投影.3.向量在轴上的投影27Projection在轴u上的向量轴与向量的夹角的余弦：向量在轴u上的投影记为投影性质1投影等于向量的模乘以向量及其线性运算投影有正、注负之分;模只为正值.28（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.向量及其线性运算投影性质2投影性质329解向