高等数学向量及其运算

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1、数量关系—第七章第一部分向量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;向量法坐标,方程（组）空间解析几何与向量代数1§7.1向量及其运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向解、投影2既有大小,又有方向的量叫做向量.向量向量可用粗体字母、或加箭头的书写体字母表示.以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量,记作AB→向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.向量的表示法一、向量概念3如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合.向量

2、的相等与起点无关的向量,称为自由向量,简称向量.自由向量4向量的模向量的大小叫做向量的模.单位向量模等于1的向量叫做单位向量.零向量零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.5向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a//b.零向量认为是与任何向量都平行.6共线向量与共面向量当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面7二、向量的线性运算设有两个向量a与b,平移向量,

3、使b的起点与a的终点重合,则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.1.向量的加法c=a+b三角形法则平行四边形法则8向量的加法的运算规律(1)交换律a+b=b+a;(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).9向量的减法向量b与a的差规定为b-a=b+(-a).负向量三角不等式

4、a+b

5、

6、a

7、+

8、b

9、,

10、a-b

11、

12、a

13、+

14、b

15、,等号在b与a同向或反向时成立.与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量,记为-a.10当=0时,

16、a

17、=0,即a为零向量.向量a与实数的乘积记作a,规定a是一个向量,它的模

18、a

19、=

20、

21、

22、a

23、,它的方向

24、当>0时与a相同,当<0时与a相反.2.向量与数的乘法当=-1时,有(-1)a=-a.当=1时,有1a=a;11(1)结合律(a)=(a)=()a;(2)分配律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量与数的乘积的运算规律向量的单位化于是a=

25、a

26、ea.设a0,则向量是与a同方向的单位向量,记为ea.12例1形对角线的交点.于是解由于平行四边形的对角线互相平分,所以13例设的三边三边中点分别为D、E、F试用表示并证明证ABCDEF14定理1.设a为非零向量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号

27、,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,15“”则例1.设M为解:ABCD对角线的交点,已知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b16给定一个点O及一个单位向量i就确定了一条数轴Ox并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系:点P实数x实数x称为轴上点P的坐标数轴与点的坐标17说明：三、空间直角坐标系空间直角坐标系y轴z轴原点x轴在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系(2)数轴的的正向通常符合右手规则.(

28、1)通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线;18在空间直角坐标系中,任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面.坐标面三个坐标面分别称为xOy面,yOz面和zOx面.卦限坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,分别用字母I、II、III、IV等表示.19向量的坐标分解式以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有20上式称为向量r的坐标分解式xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系任给向量r存在点M及xi、yj、zk使有序数x、y、z称为向量r的坐标记作r(xyz)有序数x、y、z也称为

29、点M的坐标记为M(xyz)向量称为点M关于原点O的向径21坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如点M在yOz面上则x0点M在zOx面上的点y0点M在xOy面上的点z0点M在x轴上则yz0点M在y轴上,有zx0点M在z轴上的点有xy0点M为原点则xyz0坐标轴上及坐标面上点的特征22四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:23例2其中a=(212)b=