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1、第一章函数、极限与连续一、基本要求1.理解函数的概念，包括反函数、复合函数、初等函数的概念。2.了解函数的四种特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性，掌握基本初等函数及其图形。3.会建立简单的实际问题中的函数关系式。4.理解极限的概念，对定义中的“任给”、“存在”、“恒有”要具体理解。5.掌握极限的性质和四则运算法则，掌握极限存在的两个准则。6.会用两个重要极限求极限。7.理解无穷小与无穷大的定义以及无穷小阶的概念，掌握等价无穷小替代的方法。8.理解函数连续性的概念，会判断间断点的类型。9.了解闭区间上连续函数的性质，并会用它们证明一
2、些问题。重点：理解函数、极限和连续等概念。重点题型：求函数的表达式和定义域；用极限定义证明极限，求极限；求函数的间断点并分类；用介值定理证明一些题。二、解题方法1.考点1判断数列的敛散性。常用方法有：（1）定义法；（2）反证法；（3）单调数列法；（4）柯西准则2.考点2求已知数列的极限1常用方法有：（1）定义法；（2）两边夹法；（3）先求和再求极限；（4）先用放缩法；（5）用施笃兹公式；（6）先用数列归纳法，再求极限；（7）用变量替换法；（8）级数法；（9）积分法；（10）利用函数极限法，再用归结法则；（11）利用对数求极限；（12
3、）利用中值定理；（13）利用导数定义；（14）利用单调数列。3.考点3已知数列递推关系，求极限。常用方法有：（1）先判断极限存在，再求极限；（2）变量替换；（3）压缩映像法。4.考点4证明数列极限。5.考点5求函数的极限的方法：常用方法：（1）定义法；（2）两边夹法则；（3）放缩法；（4）罗比塔法则；（5）通过等式变形化为已知极限；（6）极数法；（7）用等价无穷小替换；（8）自然对数法；（9）利用积分中值定理；（10）因式分解法；（11）用变量替换6.考点6判断函数的连续性解题方法（1）定义法；（2）判定左、右连续法；（3）放缩法7
4、.考点7间断点及其分类三、同步测试题（一）填空题x21.已知f()xefx==,[()]1ϕ−x且ϕ()0x≥，则ϕ()x=的定义域为2x12.已知fx()=(0x≠,1)，则f()=x−1f()x⎧10+),0x⎛⎞xa+29.lim⎜⎟=8
5、，则a=。⎝⎠xa−213sinxx+cosx10.lim=。(1cos)ln(1++x)11−ex11.lim=。1xe+x⎡⎤⎛⎞31⎛⎞12.limx⎢⎥sinln1⎜⎟+−+sinln1⎜⎟=。x→∞⎣⎦⎝⎠xx⎝⎠⎛⎞12n13.lim⎜⎟+++?=。222x→∞⎝⎠nnnn++12++nnn++2ax⎧sxein2+−1⎪,x≠014.若fx()=⎨x，在(,)−∞+∞上连续，则a=。⎪x=0⎩a,（二）选择题1、函数f()xxx=sin,则f()x是（）。（A）当x→∞时为无穷大；（B）在(,)−∞+∞内有界；3（C）
6、在(,)−∞+∞内无界；（D）当x→∞时有有限极限2⎛⎞x2．已知lim⎜⎟−axb−=0，其中ab,是常数，则（）。x→∞⎝⎠x+1（A）ab==1,1;（B）ab=−=1,1;（C）ab==1,−1;（D）ab=−=1,−1;21x−13．当x→1时，函数ex−1的极限是（）。x+1（A）2；（B）0；（C）∞；（D）不存在但不为∞sinx4．设f()xxx=tane，则f()x是（）。（A）偶函数；（B）0；（C）周期函数；（D）单调函数。115．当x→0时，变量sin是（）。2xx（A）无穷小；（B）无穷大；（C）有界的，但
7、不是无穷小；（D）无界的，但不是无穷大。6．设f()x和ϕ()x在(,)−∞+∞上有定义，f()x为连续函数，且f()0.()xx≠ϕ有间断点，则（）。2（A）ϕ[()]fx必有间断点；（B）ϕ[()]x必有间断点；ϕ()x（C）f[()]ϕx必有间断点；（D）必有间断点。f()x7．设数列x,y满足limxy=0，则下列断言正确的是（）。nnnnnm→（A）若x发散，则y必发散；（B）若x无界，则ynnnn必无界41（C）若x有界，则y必为无穷小；（D）若为无穷小，nnxn则y必为无穷小。n8．“对任意给定ε∈(0,1)，总存在正
8、整数N，当nN>时，恒有xa−≤2ε”n是数列xn收敛a的（）。（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件又非必要条件。x9．设函数fx()=在(,)−∞+∞内连续，且lim()fx
