期中考试复习讲义导数.doc

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1、期中考试复习讲义导数考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．(1)（C为常数）；(2)；(3)；（4）；（5）；（6）；（7）且；（8）．2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：(法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）．3

2、.（理科）形如y=f的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解—求导—回代．法则：y＇

3、=y＇

4、·u＇

5、【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【考点针对训练】1.求下列函数的导数（1）；（2）；（3）y=；(4)y=ln(

6、2x-1)+cos2x.2.已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是．相应地，切线方程为．【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线在点处的切线平行于轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【考点针对训练】1.曲线在点（1，2）处的切线方程为_______

7、_______．2.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是．3.点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是.4.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是．（备用题）5.若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为．考点三、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数的导数（2）令解不等式，得的范围就是单调增区间

8、;令解不等式，得的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.【考点针对训练】1.函数的递增区间是___________.2.若函数在区间上增函数，求的取值范围___________.3.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集是________．4，已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为________．5.已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；6.讨论函数的单调性．7.设，.

9、已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，求证：在处的导数等于0；考点四、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符

10、号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【考点针对训练】1.函数在处取得极值，则的值为_____________.2.函数f（x）＝x3＋3ax2＋3[（a＋2）x＋1]有极值，则a的取值范围是_____________.3.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是_____________.4.已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x

11、)的单调区间与极值．5.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)．(1)若在f(x)的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；(2)若f(x)在区