信号与系统第2章 连续时间系统的时域分析.ppt

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1、第二章连续时间系统的时域分析2.1引言2.2微分方程的建立与求解2.3起始点的跳变2.4零输入响应和零状态响应2.5冲激响应与阶跃响应2.6卷积2.7卷积的性质2.8用算子符号表示微分方程2.1引言系统在时域中数学模型的建立微分方程：输入-输出法——高阶微分方程系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号求系统的输出响应系统分析的方法：时域分析方法频域分析方法本章主要内容：系统时域分析法：1、微分方程的求解直接求解微分方程；零输入响应和零状态响应的概念和求解。2、根据单位冲激响应求系统的响应；卷积积分。3、算子符号表示法。2.2系统数学模型（微分方程）的建立例2-1图

2、2-1所示为RLC并联电路的，求并联电路的端电压v(t)与激励源iS(t)间的关系iS(t)iRiCiLRLC+-v(t)电阻：电感：电容：例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。例：如图所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。2.3用时域经典法求解微分方程设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶的微分方程表示复杂的系统。完全解由齐次解与特解组成。齐次解：齐次方程的解。齐次方程：齐次解的形式是形如的线性组合。——微分方程的特征方程特征方程的n个根，，

3、…，称为微分方程的特征根1、在特征根各不相同(无重根)的情况下，微分方程的齐次解：2、若特征方程有重根，为k阶重根，则相应于的微分方程的齐次解将有k项，为：例2-3求解微分方程的齐次解。解：特征方程：特征根：齐次解：1、求微分方程的齐次解。2、求微分方程的齐次解。答案：答案：3、求微分方程的齐次解。答案：4、求微分方程的齐次解。答案：特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。自由项：将激励代入微分方程右端，化简后的函数式注意：1、表中的B、D是待定系统。2、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。3、若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t

4、倍乘表中特解。若这种重复形式有k次，则依次增加倍乘t，t2，…，tk诸项。例如：齐次解：激励：特解：例2-4给定微分方程如果已知：(1)e(t)=t2；(2)e(t)=et，分别求两种情况下此方程的特解。解：(1)将e(t)=t2代入方程右端，得自由项t2+2t特解rp(t)=B1t2+B2t+B3将特解代入原微分方程，得：等式两端各对应幂次的系统相等，可得：特解为：(2)将e(t)=et代入方程右端，得自由项2et特解rp(t)=Bet将特解代入原微分方程，得：Bet+2Bet+3Bet=2Bet特解为：1、求微分方程的特解。2、求微分方程的特解。答案：答案：3

5、、求微分方程的特解。答案：完全解=齐次解+特解边界条件：在(0+≤t≤∞)内任一时刻t0(通常为0+)时r(t)及其各阶导数(最高为n-1阶)的值。即由此可确定Ai，得到完全解。线性常系数微分方程的经典解法：1、通过特征方程写出齐次解(含待定系数)；2、通过自由项写的特解，并代入原方程中确定特解的待定系数；3、完全解=齐次解(含待定系数)+特解，根据边界条件列方程组，求齐次解中的系数。特征方程的根称为系统的“固有频率”，决定齐次解的形式。齐次解——自由响应。特解——强迫响应2.4起始点的跳变——从0-到0+状态的转变系统加入激励之前的状态：——起始状态(0-状态

6、)系统加入激励之后的状态：——初始条件(0+状态，导出的起始状态)对于一个具体的电网络，系统的0-状态就是系统中储能元件的储能情况，即电容上的起始电压和电感中的起始电流。当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫作用于电容以及没有冲激电压(或阶跃电流)强迫作用于电感，则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。例2-6如图所示RC一阶电路，电路中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号e(t)=u(t)，求t>0系统的响应——电阻两端电压解：根据KVL和元件特性写出微分方程当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压保持连续值，仍等于0，而电阻两端电压将产生跳变，

7、即特征根：齐次解：特解：0代入起始条件：完全解：当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数。它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等。解法二：用匹配法将代入得（2-1）为保持方程左右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含，所以在0点发生跳变。将（2-1）两端同时做积分得例2-7电路如图，在激励信号电流源的作用下，求电感支路电流。激励信号接入之前系统中无储能，各支路电流解：根据KCL和电路元件约束性得左端二阶导数含有项，则一阶导数在0点发生跳变，在0点没有跳变