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1、第十一章第一节曲线积分习题一、填空题:1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为,则Ｌ的质量Ｍ=_______________；2、=_______________；3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；4、=中要求________.5、计算下列求弧长的曲线积分:1、,其中Ｌ为圆周,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；2、,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3、,其中Ｌ为曲线；4、计算,其中Ｌ为双纽线.三、设螺旋形弹簧一圈的方程为,,,其中,它的线密度,求:1、它关于Z轴的转动惯量；2、它的重
2、心.答案一、1、；2、L的弧长；3、弧长；4、<.二、1、；2、9；3、；4、.三、；；；.第二节对坐标的曲线积分习题一、填空题:1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；2、设,则____________；3、在公式中,下限a对应于L的____点,上限对应于L的____点；4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________.二、计算下列对坐标的曲线积分:1、,其中L为圆周及X轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；2、,其中L为圆周(按逆时针方向饶行)；3、,其中
3、为有向闭折线,这里的依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；4、,其中是以，,,为顶点的正方形正向边界线.三、设z轴与重力的方向一致,求质量为m的质点从位置沿直线移到时重力所作的功.四、把对坐标的曲线积分化成对弧长的积分,其中L为:1、在面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、沿抛物线从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周从点(0,0)到点(1,1).答案一、1、坐标；2、-1；3、起,点；4、.二、1、2、；3、；4、0.三、.四、1、；2、；3、.第三节格林公式习题一、填空题:1、设闭区域Ｄ由分段光滑的曲线Ｌ围成,函数及在Ｄ上具有一阶连续偏导数,则有___
4、_____________；2、设Ｄ为平面上的一个单连通域,函数在Ｄ内有一阶连续偏导数,则在Ｄ内与路径无关的充要条件是_______________在Ｄ内处处成立；3、设Ｄ为由分段光滑的曲线Ｌ所围成的闭区域,其面积为5,又及在Ｄ上有一阶连续偏导数,且,,则___.4、计算其中Ｌ是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性.5、曲线积分,求星形线所围成的图形的面积.四、证明曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值.五、利用格林公式,计算下列曲线积分:1、其中Ｌ是在圆周上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；2、求曲线积分和的差.其中是过原点和,且其对称轴垂直于ｘ轴的抛
5、物线上的弧段,ＡＭＢ是连接Ａ，Ｂ的线段.六、计算,其中Ｌ为不经过原点的光滑闭曲线.(取逆时针方向)七、验证在整个平面内是某一函数的全微分,并求这样一个.八、试确定,使得是某个函数的全微分,其中,并求.九、设在半平面ｘ＞０内有力构成力场,其中ｋ为常数,.证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.答案一、1、；2、；3、10.三、.四、.五、236.六、1、；2、-2.七、1、当Ｌ所包围的区域Ｄ不包含原点时,0；2、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点,且Ｌ仅绕原点一圈时,；3、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点,且Ｌ绕原点ｎ圈时,..八、.第四节对面积的曲面积分习题一、填空题:1、已知曲面的面积为ａ,则
6、_______；2、=________；3、设为球面在平面的上方部分,则____________；4、_____,其中为抛物面在面上方的部分；5、______,其中为锥面及平面ｚ＝１所围成的区域的整个边界曲面.二、计算下列对面积的曲面积分:1、,其中为平面在第一卦限中的部分；2、,其中为锥面被柱面所截得的有限部分.三、求抛物面壳的质量,此壳的面密度的大小为.四、求抛物面壳的质量，此壳的面密度的大小为答案一、1、；2、；3、；4、；5、.二、1、；2、.三、.四、.第五节对坐标的曲面积分一、填空题:1、= _______________________.2、第二类曲面积分化
7、成第一类曲面积分是__________，其中为有向曲面上点处的___________的方向角.二、计算下列对坐标的曲面积分:1、,其中是柱面被平面ｚ＝０及ｚ＝３所截得的在第一卦限内的部分的前侧；2、,其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；3、,其中为锥面和ｚ＝１，ｚ＝２所围立体整个表面的外侧.三、把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分,其中是平面在第一卦限的部分的上侧.答案一、1、0；2、,法向量.二、1、；2、；3、.三、.第六节高
