高数第十一章第8节

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1、1四、正弦级数、余弦级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.一般地,这些情况与函数的奇偶性有关.1.奇、偶函数的傅里叶级数23证奇函数偶函数45解所给函数满足狄利克雷充分条件.6和函数图象78解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.因此u(t)的傅立叶级数处处收敛于u(t).910112.函数展成正弦级数和余弦级数12（1）.奇延拓—展开成为正弦级数13（2）.偶延拓—展开成为余弦级数14解(1)求正弦级数.1516(2)求余弦级数.1718第八节一般周期的函数的傅里叶级

2、数第十一章19一、以2l为周期的函数的傅里叶展开周期为2l函数f(x)周期为2函数F(z)变量代换将F(z)作傅氏展开f(x)的傅氏展开式20设周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理条件,则它的傅里叶展开式为(在f(x)的连续点处)其中定理.21证明:令,则令则所以且它满足收敛定理条件,将它展成傅里叶级数:(在F(z)的连续点处)变成是以2为周期的周期函数,22其中令(在f(x)的连续点处)证毕23说明:其中(在f(x)的连续点处)如果f(x)为偶函数,则有(在f(x)的连续点处)其中注:无论哪种情况,在f(x)的间断点x处,傅里叶级数收敛于如果f(x)为奇函数,

3、则有解26例2.把展开成(1)正弦级数;(2)余弦级数.解:(1)将f(x)作奇周期延拓,则有27(2)将作偶周期延拓,则有28说明:此式对也成立,由此还可导出据此有29例3.将函数展成傅里叶级数.解:令设将F(z)延拓成周期为10的周期函数,理条件.由于F(z)是奇函数,故则它满足收敛定30思考与练习1.将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其图形?答:易看出奇偶性及间断点,2.计算傅里叶系数时哪些系数要单独算?答:用系数公式计算如分母中出现因子n－k从而便于计算系数和写出收敛域.必须单独计算.31作业:P2516;7P2561(1);2(2);