高考极坐标和参数方程知识题型总结.pdf

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1、高考极坐标和参数方程知识题型总结一、坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离

2、OM

3、叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，

4、y)和(ρ，θ)，则222ρ＝x＋y，x＝ρcosθ，或ytanθ＝(x≠0).y＝ρsinθx3．圆的极坐标方程222若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acosθ；π(3)当圆心位于M(a,)，半径为a：ρ＝2asinθ.24．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0

5、；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；π(3)直线过M(b,)且平行于极轴：ρsinθ＝b.2二、参数方程1.直线的参数方程若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.2.圆的参数方程若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π.题型一：极坐标与直角坐标的互化方法总结：进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsin222yθ，ρ＝x＋y

6、，tanθ＝(x≠0)．xx3t例1、在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，xy1t轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为2cos0.（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C的交点的极坐标（规定：0,02）.例2.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知2π曲线C的极坐标方程为cos2sin，它在点M22,处的切线为直线l.4（1）求直线l的直角坐标方程；22y（2）设直线l与x1的交点为P1，P2，

7、求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极4坐标方程.22例3．在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x3y425.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的极坐标方程；21tx，21t例4.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O4ty21t为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110．求C和l的直角坐标方程题型二、参数方程与普通方程的互化方法总结：1.参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法，常用的消参方22

8、法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的如sinθ＋cosθ＝1或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.2.普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3.常见的参数方程①直线的参数方程若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).这是直线的参数方程,其中参

9、数t有明显的几何意义.②圆的参数方程若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为0≤θ≤2π.③椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0),相应的椭圆参数方程为0≤t≤2π.例1、将下列参数方程化为普通方程．1x＝，t(1)1(t为参数)；2y＝t－1t2x＝2＋sinθ，(2)(θ为参数)．y＝－1＋cos2θ例2、将下列参数方程化为普通方程．3kx＝，21＋k(1)6k2(k为参数)；y