微分方程-数学建模.pdf

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1、6微分方程建模一般处理动态连续问题•描述对象特征随时间(空间)的演变过程动态问题•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据规律列方程微分•微元分析法方程•模拟近似法建模6.1铅球的投掷问题6.2檐沟问题6.3人口预测和控制6.4传染病模型6.5最优捕鱼策略6.6捕鱼业的持续收收获稳定性模型6.7关于男生追女生的数学问题6.1铅球的投掷问题一.背景、问题：投掷园Ø7呎=2.135m，有效扇形450，坻趾板10×10cm,铅球重16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷园内将铅球掷出并使铅

2、球落入有效区内。以铅球落地点与投掷园间的距离度量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？二.模型与分析：1.抛射体模型：铅球出手后的运动过程假设：(1)铅球是个质点。(2)忽略空气阻力。(3)出手角度与出手速度无关。变量、参量：出手角度α，出手高度h，出手速度v，出手时间t，投掷远度s。坐标系：（x，y）铅球运动的轨迹为(x(t),y(t)).平衡关系：力与运动的牛顿定律2dx0,x(0)0,x(0)vcos2dt2dyg,y(0)h,y(0)

3、vsin2dt有解x(t)(vcos)t12y(t)(vsin)tgth22gxy(x)(tan)xh222vcos模型:铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标2222vsin2vsin22vcoss()2h2g2gg检验:姓名v(m/s)h(m)α(0)s(m)实测李梅素13.751.9037.6020.6820.95李梅素13.522.0038.9620.2220.30斯卢皮13.772.0640.0021.2521.41分析:1.最佳出手角度:求函数s(α)的极大值点满足方程

4、42222cos2vsin28hgvcosvsin2cos22ghsin20化简可得ghg0cos204522ghvgv/h给定出手高度,最佳出手角度随出手速度增大而增大。给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增大而减小。2.最佳投掷模式给定出手高度h、出手速度v从而可以计算最佳出手角度α。这三个量就构成最佳的铅球投掷模式。hv101112131414.5151.940.4841.1641.7142.1542.5142.7642.8011.9514.1116.4819.0521.8123.

5、2724.782.040.2840.9941.5542.0142.3942.5542.7012.0314.2016.5719.1421.9023.3624.872.140.0840.8241.4041.8842.2742.4442.5912.1214.2916.6519.2922.0023.4624.973.主要因素分析—模型的参数灵敏度分析参数变化对模型值的影响。模型对参数变化率的分析。模型对参数的极差分析：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差。高度1.9m时37383940414243极差1011.89

6、11.9211.9411.9511.9511.9411.920.061114.0114.0514.0914.1114.1214.1214.100.111216.3116.3816.4316.4616.4816.4816.470.171318.8018.8918.9619.0119.0419.0519.040.251421.4821.5921.6821.7521.7921.8121.820.341524.3624.4924.6024.6824.7424.7824.780.42极差12.4712.5712.6612.7312.7

7、912.8412.86高度2m时37383940414243极差1011.9812.0112.0312.0412.0412.0212.000.061114.0114.1514.1814.2014.2114.2014.180.111216.4116.4716.5216.5516.5716.5716.560.161318.9018.9919.0519.1019.1319.1419.130.241421.5921.7021.7821.8521.8921.9121.910.321524.4624.6024.7024.7924.84

8、24.8724.880.42极差12.4812.5912.6712.7712.8812.8512.88高度2.1m时37383940414243极差1012.0712.1012.1212.1212.1