数学建模(微分方程)最新

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1、微分方程模型1、微分方程基础知识2、微分方程建模方法及简单模型3、人口模型4、微分方程定性与稳定性理论1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．1、微分方程基础知识(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．(4)一阶线性微

2、分方程上方程称为齐次的．上方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（使用分离变量法）解法非齐次微分方程的通解为（常数变易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．其中形如(6)全微分方程注意：解法应用曲线积分与路径无关.用直接凑全微分的方法.通解为(7)可化为全微分方程形如公式法:观察法:熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子．常见的全微分表达式可选用积分因子3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法

3、代入原方程,得特点型解法代入原方程,得４、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.特征方程为特征方程为特征方程的根通解中的对应项推广：阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.微分方程模型简介涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际

4、”、“速度”、“运动”、“追赶”、“逃跑”等等词语的确定性连续问题。b、微分方程建模的基本手段a、微分方程建模的对象比如：人口问题，商业预测，（1）根据规律列方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。（3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微

5、分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。1、寻找改变量一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式变化率（微商）=单位增加量--单位减少量c、微分方程建模的基本规则2、对问题中的特征进行数学刻画3、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）；6、模型和结果的讨论与分析。饿狼追兔问题现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而

6、狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？三、建模范例首先建立坐标系，兔子在O处，狼在A处。yxhy=f(x)B-60A(100,0)C(x,y)O由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线解设狼的行走轨迹是y=f(x)，则有，又因狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻，兔子跑到(0,h)处，而狼在(x,y)处，则有整理得到下述模型这属于可降阶的二阶微分方程，解得狼

7、的行走轨迹因，所以狼追不上兔子。一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。求物体的温度--作案时间的确定分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变

8、化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，k=－,最后得结果：T(10)=18+42=25.870，该物体温度降至300c需要8.17分钟.T(t)=18+42,t≥0.寻找嫌疑犯受害者的尸体于晚上7:30被发现，法医于晚上8:20