微分方程与数学建模

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1、第六章微分方程与数学建模第一节微分方程第二节微分方程在数学建模中的应用第一节微分方程一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程一、微分方程的基本概念1.引例解2.微分方程的基本概念凡是表示未知函数、未知函数的导数（或微分）与自变量之间关系的方程称为微分方程.微分方程中未知函数导数的最高阶数称为方程的“阶”，未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程如果自变量为x，未知函数为y，则n阶微分方程的一般形式为任何满足微分方程的函数都称为微分方程的解.如果微分方程的解中含有任

2、意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解.不含任意常数的解称为微分方程的特解.用来确定方程通解中任意常数的条件称为方程的初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.二、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为1.可分离变量的微分方程2.齐次方程的微分方程称为齐次方程.解法作变量代换代入原式变量可分离的微分方程定义三、一阶线性微分方程及可降阶的高阶微分方程)()(xQyxPdxdy=+一阶线性微分方程的标准形式:,0)(ºxQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(ºxQ当1.一阶线性

3、齐次方程的解法齐次方程的通解为(使用分离变量法)2.一阶线性非齐次方程的解法对应齐次方程解法：常数变易法先求出对应齐次方程的通解：再令C=u(x)，即为原方程的解，积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程特解变易常数应满足的条件3.可降阶的高阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的形式二阶常系数线性微分方程的一般形式称为二阶常系数非齐次线性微分方程.1.二阶常系数齐次线性方程1)解的性质将其代入上方程,得故有特征方程特征根2)通解的求法（1）有两个不相等的实根两个特解得齐次方程的通解为

4、特征根为（2）有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为（3）有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为2.二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐方程特解为代入原方程综上讨论注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地利用欧拉公式注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.