微分方程与数学建模new

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1、第15卷第2期景德镇高专学报Vol.15No.22000年6月JournalofJingdezhenCollegeJun.2000[文章编号]100828458(2000)0220006204微分方程与数学建模①吴丹桂(景德镇高专科研处景德镇333000)[摘要]从探照灯反射镜面,吊桥的桥拱形状及悬链线的形成过程的分析,用微分方程得出它们的数学模型。[关键词]微分方程;抛物线;悬链线;数学建模[中图分类号]O175[文献标识码]A在工程技术和管理科学领域,存在大量的数学模型,通过这些实际模型的建立和解决,最后使我们的目标得到完整而精确的方案(包括设计图纸,

2、施工方案,经费预算等)。本文从几个较简单的实例出发,用微分方程的方法建立几个数学模型。1探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时,总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去,以保证探照灯有良好的方向性,试求反射镜面的几何形状。分析:设光源在坐标原点,如图1,并取x轴平行于光的反射方向。如果所求的曲面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成,则求反射镜面的问题就相当于求曲线y=f(x)(平面曲线)的问题。为此,过曲线y=f(x)(y>0)的点M(x,y)作切线MT,则由光的反射定律:入射角等于反射角,得到图1中的α1及α2的关系式:ππ图1-α1=-α222即α1

3、=α2由图1可看出α3=α1+α2=2α22tgα2故得tgα3=tg2α2=2⑴1-tgα2①收稿日期:2000-03-06作者简介:吴丹桂(1949-),男,江西波阳人,讲师。第2期吴丹桂:微分方程与数学建模·7·dyy但是tgα2=,tgα3=⑵dxx将⑵代入⑴得到dy2ydx=2xdy1-dx2dydyyx解出得到=-±1+⑶dxdxxyππ我们还可假设0<α3<,即0<α2<也就是说:24dy0<=tgα2<1dx故在⑶式中只取根号前的正号,这样就得到曲线y=f(x)应满足的微分方程2dyyx=-+1+⑷dxxyxdxdv⑷是齐次方程,可作变换,

4、即=v,即x=yv,这时=v+y代入⑷式得到ydydydv1v+y=dy-v+1+v2dvdy即=1+v2y积分后代回原来的变量可得222yx+y=-x+C2即y=C(C+2x)这是抛物线。因此,反射镜面为旋转抛物面。2吊桥的钢缆呈什么曲线的形状?这里设把钢缆与桥面连结起来的吊索全都互相靠近并且是并列平行的。又,钢缆,吊索及桥身的每单位长的重量分别是a,b,c。分析:如图2是所设计的吊桥的大致形状。设吊桥的桥身是笔直而水平的,把它作为x轴,把通过钢缆最低点的铅垂线作为y轴。(如图3)。在钢缆上任取一点P(x,y),再在它上方取一点Q(x+dx,y+dy),

5、设P,Q间钢缆的长度为ds。因为作用在PQ这一段上的水平方向的力平衡,若设钢缆张力的水平分量为T,则以作用在PQ这一段上垂直方向的力平衡的条件得:图2T[tg(θ+dθ)-tgθ]=ads+bydx+cdx⑸dy但tgθ=dx·8·景德镇高专学报2000年dtg(θ+dθ)≈tgθ+(tgθ)dθ(泰勒定理)dθddx=tgθ(tgθ)dθdxdθdyddy=+dx⑹dxdxdx将⑹代入⑸得ddyadsbC=·+y+⑺dxdxTdxTT2图322dy又ds=dx+dy=dx1+dx2dsdy=1+dxdx故⑺式成为2ddyadybC=1++y+⑻dxdxT

6、dxTT22dyadybC或改写成2=1++y+⑼dxTdxTT这样,钢缆的形状可以求解微分方程⑼得出,直接求解⑼是困难的,在实际应用中是只求其近似解,求法如下:显然,与桥身的重量相比,钢缆及吊索的重量是微不足道的,故⑼式右边的第一,二项可以略去而成为2dyC2=(9′)dxTdy积分(9′)(两次积分),并注意到在钢缆最低点切线是水平的,即x=0时,=0,便得到dxC2y=x+h⑽2T其中h是钢缆最低点到桥身的高度,这样,吊桥的钢缆近似地呈抛物线形状⑽。3链条悬挂在相同高度的两点间,并且只受其自身重量的作用,它的形状如何?分析:如图4,以链条的最低点为原

7、点,铅直向上为y轴,水平方向为x轴,建立坐标系。在链条上取两点P(x,y)及Q(x+dx,y+dy),设P,Q间的链条长为ds。从作用在PQ段上水平方向的力的平衡条件,知P,Q处链条的张力的水平分力的大小相等,设为T。再从作用在PQ段上垂直方向的力的平衡条件得Ttg(θ+dθ)-Ttgθ=wds⑾其中w是链条每单位长的重量,因为第2期吴丹桂:微分方程与数学建模·9·dytgθ=dxdyddytg(θ+dθ)=+dx⑿dxdxdx2dyds=dx1+dx故由⑾、⑿得22dywdy2=1+⒀图4dxTdxdy设=ζ⒁dxdζw2则⒀成为=1+ζdxTdζw=d

8、x⒂1+ζ2Tw积分得˜ζ+1+ζ2=x+C1⒃Tdy图5因为在链