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1、第24卷第11期荆楚理工学院学报2009年11月Vo.l24No.11JournalofJingchuUniversityofTechnologyNov.2009常微分方程在数学建模中的应用肖勇(宁德职业技术学院公共基础部,福建福安355000)[摘要]文章深入探究了常微分方程在数学建模中的应用,阐述了常微分方程的发展和数学建模,并结合二者的特点与相关常微分方程在数学建模的例子,总结出常微分方程在数学建模的如何应用及学习过程中应注意的事项。[关键词]数学建模;常微分方程[中图分类号]O241.81[文献标识码]A[文章编号]1008-4657(2009)1
2、1-0050-031数学建模简介对复杂现象进行分析,用数学语言来描述其中的关系或规律,抽象出恰当的数学关系,并将其实际问题转化成为一个数学问题,同时运用数学系统的知识方法对数学问题进行求解,对现实问题作出解释[1]的过程,这就是数学建模。与数学不同,构建数学模型的过程不仅要对复杂的问题进行提炼、归纳和总结而且还应进行演绎推理。所以构建数学模型的过程也是一个演绎推理与归纳总结相结合的过程。对现实问题的观察、假设、归纳,怎样将其化为一个数学问题是数学建模的关键。但这仅仅是数学建模的开始,完整的数学建模过程还应求解数学问题并能得到所要求的解。同时还应看到得出的解是否与数据或实际经
3、验相吻合,是否能解释实际问题;否则,还应重新修正。2常微分方程和数学建模结合的特点通常在建立对象的动态模型时,应对不同的实际对象建立不同的并与之相适合的数学模型。首先要具体的问题具体分析对建模的目的应该做出简化的假设,而后还要依照对可以类比的其它对象的规律或者其对象内在的微分方程进行解题并求出这一方程的解,这样才能将其结果反馈回实际的对象,然后再进行预测或控制,描述与分析。数学建模也是一个分析问题、解决问题的创造性思维过程,它的内容来自于实践、结果应用于实践、[2]方法结合于实践,因此要选准切入点,才能有机地结合常微分方程的内容,充分体现数学建模的思想意图。数学建模思想的培
4、养不可能立竿见影,而是一个长期的过程。而要我们脚踏实地认真去工作和钻研,纯粹数学的能力和数学建模能力是截然不同的,数学建模能力需要长期培养和锻炼才能形成。应用微分方程理论在实际解决问题的过程中建立的数学模型,一般是动态数学模型,其结果极其简明,但整个推导过程却有点繁杂,不过还是能给人们以合理的解释。由此笔者认为有机地将数学建模与常微分方程结合,必定能使常微分方程在实际应用过程中发挥更多更好的作用,以便能解决更多的实际问题,产生更好效益。3常微分方程在数学建模中的应用在碰到实际问题时,应建立研究对象的数学模型。建立数学模型首先应具体问题具体分析,对建立[收稿日期]2009-0
5、8-22[作者简介]肖勇(1967-),女,福建福安人,宁德职业技术学院高级讲师。研究方向:高等数学教学。50数学模型的目的应作相应的假设和简化,而后依照其内在规律罗列出这种微分方程,求出其方程的解。并将其结果进行描述、分析、预测或控制,最后回到实际对象中应用。下面介绍几个微分方程建模的典型例子。3.1常微分方程在新产品推广模型中的应用假设市场上要推出一新产品,t时刻的销量为x(t),新产品性能优良质量好,所以产品本身就是宣传品。因而,t时刻产品销量的增量dx/dt与x(t)成正比,还应想到新产品销售有一定稳定的市场容量N,结果统计表明,dx/dt与尚未购买该新产品的顾客
6、潜在的销售数量N-x(t)也成正比,因此就有以下逻辑斯谛模型dx/dt=kx(N-x),其中常数k>0为比例系数,分离变量、积分,可以解得逻辑斯谛曲线Nx(t)=-KN。1+Cet2-KNt222-KNt-KNtdxcNkedxcKNe(Ce-1)*由=-KNt2及2=-KNt3,当00,也就是新产dt(1+Ce)dt(1+Ce)222*Ndx*Ndx*Ndx品销量x(t)单调也增加;当x(t)=时,2=0;当x(t)>时,2<0;当x(t)<时,t>0,也2dt2dt2dt就是当新产品销量达到消费者最大需求量N的一半时,新产品畅销最佳;当新产品
7、销量不足N一半时,新产品销售速度不断增加;当新产品销量超过一半时,新产品销量速度就会慢慢减少。由此很多经济学专家和产品销售人士调查得出,许多新产品的销售曲线与逻辑斯谛曲线是相当接近的。从而可以深入对新产品的销售曲线性状进行分析,得出新产品在推出销售的前期要采取小量地生产,同时多加强宣传和广告力度,而当新产品消费者达到20%~80%之间时,新产品就可以大量的生产;当新产品消费者超过80%时候,那么企业就应选择适当时机转产,以求达到企业更好的效益。3.2常微分方程在动力学模型中的应用动力学的基本定律是第二
